Как вынести множитель за корень
Вынесение числа из-под корня
Вынесение числа из-под корня — что значит
Корнем n-ной степени из числа a называют число, n-ная степень которого равна a. Корень из нуля всегда равен нулю. Корень четной степени из a>0 всегда представляет собой два числа с противоположными знаками.
Вынесение числа (или множителя) из-под корня позволяет упрощать выражения, например, сокращать дроби или выносить общий множитель.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Смысл вынесения множителя из-под корня заключается в том, чтобы разложить число под корнем на несколько, хотя бы одно из которых можно освободить от знака корня. Однако выноситься из-под корня может неограниченное количество множителей.
Обычно число выносят из-под корня с помощью разложения числа на произведение. Рассмотрим, почему такое действие в принципе возможно.
Почему возможно заменить корень на произведение
Теория преобразования иррациональных выражений дает сформулировать два основных положения:
Зная эти положения и свойства модуля, можем вывести следующие выражения:
Наконец, беря данные выражения за основу наших преобразований, получаем две формулы:
a в данном случае может быть не только числом, но и отдельным выражением.
Как вынести множитель из-под знака корня
В целом, единственное отличие выражений с четным показателем от выражений с нечетным — наличие модуля, который при необходимости раскрывают.
Необходимые операции и определения
После того как нам стало известно основное определение, перейдем к более детальному рассмотрению процесса вынесения множителя из-под корня.
Вспомним, что основой вынесения числа из-под корня является разложение на множители. Для этого используются следующие приемы:
Формул сокращенного умножения:
Мы уже знаем, что вынесение множителя из-под корня n-ной степени — это упрощение выражения с помощью записи одного из множителей перед знаком корня. Опишем этот процесс пошагово:
Примеры решения на практике
Пример 1
Задание: вынести множитель из-под корня в выражении:
Используем правило вынесения множителя из-под четного корня:
Пример 2
Задание: вынести множитель из-под корня в выражении:
Разложим число 72 на множители, показатель одного из которых равен показателю корня:
Пример 3
Задание: вынести множитель из-под корня в выражении:
Преобразуем выражение по правилам вынесения множителя из-под нечетного корня и разложения числа на множители:
Разложение квадратного корня на множители: внесение и вынесение
На первый взгляд может показаться, что процедура разложения квадратного корня на множители сложная и неприступная. Но это не так. В этой статье мы расскажем вам, как подступиться к квадратному корню и множителям, а также легко и просто разложить квадратный корень, воспользовавшись двумя проверенными методами.
Разложение корня на множители
Для начала определим цель процедуры разложения квадратного корня на множители. Цель — упростить квадратный корень и записать его в удобном для вычислений виде.
Разложение квадратного корня на множители — нахождение двух или нескольких чисел, которые, при условии перемножения их друг на друга, дадут число равное исходному. Например: 4×4 = 16.
Если вы найдете множители, то сможете легко упростить выражение с квадратным корнем или вовсе его упразднить:
Разделите подкоренное число на 2, если оно четное.
Подкоренное число всегда следует делить на простые числа, поскольку любое значение простого числа можно разложить на простые множители. Если у вас нечетное число, то попробуйте разделить его на 3. Не делится на 3? Делите дальше на 5, 7, 9 и т.д.
Запишите выражение в виде корня произведения двух чисел.
Продолжите раскладывать числа, пока под корнем не останется произведение двух одинаковых чисел и других чисел.
Возьмем наш пример ( 2 × 49 ) :
Упростите выражение с квадратным корнем.
В тот момент, когда под корнем оказалось два одинаковых числа, останавливайтесь с разложением чисел на множители. Конечно, если вы использовали все возможности по максимуму.
Запомните: существуют корни, которые можно упрощать многократно.
В таком случае, числа, которые мы выносим из-под корня, и числа, которые стоят перед ним, перемножаются.
180 = ( 2 × 90 ) 180 = ( 2 × 2 × 45 ) 180 = 2 45
но 45 можно разложить на множители и еще раз упростить корень.
180 = 2 ( 3 × 15 ) 180 = 2 ( 3 × 3 × 5 ) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5
Когда невозможно получить два одинаковых числа под знаком корня, это значит, что упростить такой корень нельзя.
Если после разложения подкоренного выражения на произведение простых чисел, у вас не получилось получить два одинаковых числа, то такой корень упростить нельзя.
Как видим, все три множителя — простые числа, которые нельзя разложить на множители. Среди них нет одинаковых чисел, поэтому не представляется возможным вынести целое число из-под корня. Упростить 70 нельзя.
Полный квадрат
Запомните несколько квадратов простых чисел.
Квадрат числа получается, если умножить его на самого себя, т.е. при возведении в квадрат. Если вы запомните десяток квадратов простых чисел, то это очень упростить вам жизнь в дальнейшем упрощении корней.
1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100
В случае если под знаком корня квадратного корня находится полный квадрат, то стоит убрать знак корня и записать квадратный корень данного полного квадрата.
1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10
Попробуйте разложить число под знаком корня на произведения полного квадрата и другого числа.
Если вы видите, что подкоренное выражение раскладывается на произведение полного квадрата и какого-либо числа, то, запомнив несколько примеров, вы существенно сэкономите время и нервы:
Попробуйте разложить подкоренное число на произведение нескольких полных квадратов: вынесите их из-под знака корня и перемножьте.
72 = ( 9 × 8 ) 72 = ( 9 × 4 × 2 ) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2
Вынесение из под знака корня
В данной публикации мы рассмотрим, как выносить числа (множители) и буквы из-под знака корня второй и более старших степеней. Информация сопровождается практическими примерами для лучшего понимания.
Правило вынесения из-под корня
Квадратный корень
Вынести число (множитель) из-под знака корня – это значит извлечь корень из подкоренного выражения (т.е. того, что находится под знаком корня).
Если a 2 = b, то √ b = a.
Примечание: чтобы было проще выносить числа и множители из-под знака квадратного корня, рекомендуется выучить квадраты натуральных чисел, хотя бы до 20.
Корень n-ой степени
Для вынесения подкоренного выражения из-под корня третьей и более старших степеней, извлекаем корень в соответствующей степени.
Решение:
В данном случае извлечь квадратный корень можно только из числа двадцать пять, что мы и сделаем.
Решение:
1. Сперва разложим подкоренное выражение (число 45) на множители. В нашем случае – это 9 и 5.
2. Из полученных чисел извлечь квадратный корень можно только из девяти. Таким образом получаем:
Допустимые действия под корнем
Если требуется вынести из-под корня выражение, то это можно сделать только в отношении произведения.
За исключением первого варианта, в остальных случаях сперва необходимо выполнить действия под корнем, а потом уже извлечь его.
Вынесение буквы
Вынести букву из-под корня – это то же самое, что и возвести ее в дробь, где в числителе – степень подкоренного выражения, в знаменателе – самого корня.
Примечание: этой же формулой можно пользоваться, подставляя вместо буквы конкретные числа.
Как вынести множитель из-под знака корня: теория, примеры, решения
В данном материале мы продолжим рассказывать о том, как преобразовывать рациональные выражения, а конкретно о том, как правильно выносить множитель из-под знака корня. В первом пункте объясним, зачем нужно такое преобразование, далее покажем, как именно оно делается и сформулируем общее для всех случаев правило. Далее покажем, какие существуют методы, чтобы привести подкоренное выражение к удобному для преобразования виду, и разберем примеры решений задач.
Что такое вынесение множителя из-под знака корня
Чтобы лучше понять суть подобного преобразования, нужно сначала сформулировать, что такое вообще вынесение множителя из-под знака корня. Сформулируем определение:
Вынесение множителя из-под знака корня представляет собой замену выражения B n · C n на произведение B · C n с условием, что n – нечетное число, или же на произведение B · C – где n – четное число, а B и C – другие числа и выражения.
Мы выяснили, что такое вынесение множителя из-под знака корня. Теперь перейдем к доказательствам, т.е. поясним, почему произведение, полученное в итоге данного преобразования, равнозначно исходному выражению.
Почему возможно заменить корень на произведение
Когда мы разбирали преобразование иррациональных выражений, у нас получились некоторые важные результаты, которые мы собрали в таблицу. Здесь нам будут нужны только два из них:
Используя эти результаты и зная основные свойства модуля, мы можем вывести следующее:
Эти выражения лежат в основе преобразований, которые мы проводим, вынося множитель из-под знака корня.
Следовательно, можно вывести две формулы:
С помощью данных формул можно выполнить вынесение из-под корня сразу нескольких множителей.
Основное правило вынесения множителя из-под корня
Для вынесения множителя из-под корня в выражении A n нужно предварительно привести корень к виду B n · C n и после этого перейти к произведению B · C n (при нечетном показателе) или к B · C n (при четном показателе, при необходимости раскрываем модули).
Таким образом, схема решения подобных задач выглядит следующим образом:
Если нам надо вынести несколько множителей, то действуем так:
Теперь можно переходить к решению задач.
Задачи на вынесение множителя из-под знака корня
Решение
Мы видим, что подкоренные выражения во всех трех случаях уже имеют нужный нам вид. Поскольку в первых двух примерах показателем корня является четное число, а в третьем – нечетное, записываем следующее:
Решение:
При помощи схемы, приведенной во втором пункте статьи, мы можем вынести из-под корня сразу три множителя.
Можно сделать преобразование в несколько шагов, вынося множителя по одному, но так будет гораздо дольше.
Разберем более подробно тот случай, когда подкоренное выражение требует предварительного преобразования. Здесь есть несколько моментов, которые нужно дополнительно пояснить.
Предварительное преобразование подкоренного выражения
Решение
А как быть в случае, если множитель, который нужно вынести, не указан? Тогда у нас есть определенная свобода выбора, и мы можем использовать несколько подходов к решению задачи.
Допустим, нам дано выражение, под корнем у которого стоит степень или произведение нескольких степеней. В таком случае, зная основные свойства степени, мы можем преобразовать выражение в удобный для нас вид с очевидно указанными множителями для вынесения.
Решение
2 7 · 5 4 = 2 4 · 2 3 · 5 4 = 2 4 · 40 4 = 2 · 40 4 = 2 · 40 4
В последнем примере также нужно начать с преобразования подкоренного выражения. Сразу отметим, что итоговый вид будет таким:
2 22 + 2 5 · 4 + 2 = 2 5 · 4 · 2 2 = ( 2 5 ) 4 · 2 2
2 22 · 5 4 = ( 2 5 ) 4 · 2 2 · 5 4 = ( 2 5 ) 4 · 20 4 = = 2 5 · 20 4 = 32 · 20 4
Если выражение под корнем не является степенью или произведением степеней, надо попробовать представить его в таком виде. Чаще всего встречаются следующие случаи.
Подкоренное выражение – натуральное составное число. Тогда мы сразу можем увидеть нужные множители, которые надо вынести из-под знака корня, предварительно разложив данное число на простые множители.
3 2 · 5 = 3 · 5 = 3 · 5
3 2 · 15 = 3 · 15 = 3 · 15
3456 1728 864 432 216 108 54 27 9 3 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3
Теперь разберем, как решать примеры, у которых подкоренное выражение представлено в виде обыкновенной дроби. В этом случае следует числитель и знаменатель разложить на простые множители и посмотреть, можно ли вынести какие-то из них за знак корня. Если у нас есть десятичная дробь или смешанное число, предварительно заменяем их обыкновенными дробями, после чего переходим от корня отношения к отношению корней.
Решение
Для начала перейдем от десятичной дроби к обыкновенной и разложим ее числитель и знаменатель на простые множители.
Используя свойства степени, перепишем выражение в следующем виде:
Подставим получившееся выражение в исходное и получим:
К такому же ответу можно прийти и с помощью других преобразований:
Иными словами, для обнаружения множителя, который можно вынести за знак корня, можно преобразовывать подкоренное выражение любыми допустимыми способами.
Решение
2 · 2 + 1 2 = 2 · 2 + 1 = = 2 · 2 + 1 = 2 + 2
Теперь посмотрим, как вынести из-под знака корня выражение, содержащее переменные. В целом можно сказать, что для этого используются те же методы, что и при работе с числами.
Решение
Выполним сокращение показателей корня и степени на два. Обратимся к таблице результатов из статьи о преобразовании иррациональных выражений, о которой мы говорили выше. Возьмем из нее следующий результат: выражение A m n · m можно заменить на A n при условии, что m и n – натуральные числа. Следовательно,
Решение
Теперь видим множители, подлежащие вынесению из-под корня: x 3 · ( x + y ) 2 = x 2 · x · ( x + y ) 2 = x · x + y · x
Это все, что мы хотели бы вам рассказать о вынесении множителя за знак корня. В следующей статье мы разберем обратное действие – внесение множителя под корень.
Как вынести из-под корня
Вынесение множителя из-под знака корня — это извлечение корня из одного из множителей (числа или буквы), которые находятся под корнем.
Говорят: «Число « 25 » вынесли из-под знака корня».
Рассмотрим подробнее пример вынесения множителя из-под знака корня.
Вынесите множитель из-под знака корня:
Извлечь квадратный корень из « √ 5 » целым числом не получится, поэтому нам остается только извлечь квадратный корень из « √ 16 ».
Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от « 1 » до « 15 » и таблицу часто используемых квадратных корней.
Вспомним, чему равен квадрат числа четыре?
Решение примера выше записываем следующим образом.
√ 16 · 5 = √ 16 · √ 5 = 4 · √ 5
Действие выше называют вынесением множителя из-под знака корня. Говорят: «Число « 16 » вынесли из-под знака корня, получив число « 4 ».
Примеры правильного и неправильного вынесения из-под знака корня:
Как вынести множитель из корня с одним числом
Рассмотрим пример, когда под корнем только одно число и по условию задания требуется вынести множитель из-под знака корня.
№ 524 (1) Мерзляк 8 класс
Вынесите множитель из-под знака корня:
Извлечь целое число из квадратного корня « √ 8 » нельзя, так как нет такого целого числа, которое в квадрате давало бы « 8 ».
Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от « 1 » до « 15 » и таблицу часто используемых квадратных корней.
Подумаем, на какие множители можно разложить число « 8 », чтобы была возможность вынести один из множителей из-под знака корня. Вспоминаем таблицу умножения.
Число « 8 » — это произведение
« 8 = 4 · 2 ». Теперь можем вынести « 4 » из-под знака корня.
√ 8 = √ 4 · 2 = √ 4 · √ 2 = 2 √ 2
Разберем другие примеры вынесения множителя из-под знака квадратного корня
№ 524 (4) Мерзляк 8 класс
Вынесите множитель из-под знака корня:
Зададим себе вопрос: «На какие множители нужно разложить « 54 », чтобы была возможность вынести один из множителей из-под знака квадратного корня?».
Видим число « 9 ». Подходит, так как « √ 9 = 3 ».
Завершим решение примера вынесением из-под знака корня числа « 9 ».
Извлечь « √ 6 » целым числом невозможно. Поэтому ответ оставляем в таком виде.
№ 524 (5) Мерзляк 8 класс
Вынесите множитель из-под знака корня:
В примерах с числами, которые делятся на « 10, 100, 1000… » и так далее, стоит сразу попробовать разложить число на « 10, 100, 1000… » и второй множитель.
То есть число « 490 » можно разложить на « 490 = 49 · 10 ». Из « 49 » можно извлечь квадратный корень.
Теперь можно вынести « 49 » из-под знака корня.
√ 490 = √ 49 · 10 = 7 √ 10
№ 524 (6) Мерзляк 8 класс
№ 524 (8) Мерзляк 8 класс
√ 108 = √ 54 · 2 = √ 9 · 6 · 2 =
= 3 √ 6 · 2 = 3 √ 12 = 3 √ 4 · 3 =
№ 526 (6) Мерзляк 8 класс
0,4 · √ 250 = 0,4 · √ 25 · 10 =
Завершим пример, умножив десятичную дробь « 0,4 » на « 5 » по правилу умножения десятичной дроби на число.
0,4 · √ 250 = 0,4 · √ 25 · 10 =
№ 526 (8) Мерзляк 8 класс
Умножим дробь «
| 4 |
| 9 |
» на число « 3 », которое вынесли из-под знака квадратного корня. Используем правило умножения обыкновенной дроби на число.
| 4 |
| 9 |
· √ 63 =
| 4 |
| 9 |
· √ 9 · 7 =
| 4 |
| 9 |
· 3 √ 7 =
=
| 4 · 3 |
| 9 |
· √ 7 =
| 4 · 3 |
| 9 3 |
· √ 7 =
| 4 |
| 9 |
· √ 63 =
| 4 |
| 9 |
· √ 9 · 7 =
| 4 |
| 9 |
· 3 √ 7 =
=
| 4 · 3 |
| 9 |
· √ 7 =
| 4 · 3 |
| 9 3 |
· √ 7 =
| 4 |
| 3 |
· √ 7 =
Как вынести десятичную дробь из-под знака корня
В уроке «Как извлечь квадратный корень из дроби» мы разбирали, каким образом извлечь квадратный корень из десятичной дроби. Например, извлечение квадратного корня из десятичной дроби « √ 0,25 ».
Тот же самый метод используется при вынесении десятичной дроби из-под знака корня.
№ 524 (10) Мерзляк 8 класс
Вынесите множитель из-под знака корня:
Разложим десятичную дробь на произведение множителей, чтобы потом была возможность вынести один из множителей из-под знака корня.
Подберем десятичную дробь, на которую делится « 0,48 », из которой потом можно извлечь квадратный корень.
Например, « 0,16 ». Десятичная дробь « 0,48 » делится на « 0,16 » нацело.
Извлечь квадратный корень из « √ 0,16 » по правилу нахождения квадратного корня из десятичной дроби.
Завершим пример вынесением « 0,16 » из-под знака корня.
Примеры вынесения десятичной дроби из-под знака квадратного корня
№ 524 (9) Мерзляк 8 класс
Вынесите множитель из-под знака корня:
№ 526 (7) Мерзляк 8 класс
Вынесите множитель из-под знака корня:
−2 · √ 0,18 = −2 · √ 0,09 · 2 =
Как вынести букву из-под знака корня
При вынесении из-под знака квадратного корня множителя в степени (буквы или числа) степень делится на « 2 ».
Рассмотрим примеры вынесения буквы в степени из-под корня.
№ 347 (2, 4) Колягин (Алимов) 8 класс
Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа).
2) √ 2x 2 = x
| 2 |
| 2 |
√ 2 = x √ 2
4) √ 3a 6 = a
| 6 |
| 2 |
√ 3 = a 3 √ 3
В более сложных примерах требуется вынести и числовой множитель, и букву в степени из-под корня.
№ 348 (2) Колягин (Алимов) 8 класс
Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа).
Вначале отдельно вынесем буквенный множитель из-под корня.
Теперь разложим число « 75 » на множители, один из которых можно вынести из-под знака квадратного корня.
Число « 75 » явно делится на « 5 ». Проверим, можно ли число « 75 » разложить на квадрат числа « 5 2 = 25 ».
Завершим пример, вынеся число « 25 » из-под знака корня.
√ 75a 2 = a
| 2 |
| 2 |
· √ 75 = a √ 75 =
№ 549 (2) Мерзляк 8 класс
Не всегда удается сразу вынести букву в степени из-под знака корня. В данном примере степень « 9 » не делится нацело на « 2 ».
Вспомним из урока «Свойства степени» правило произведение степеней с одинаковым основанием.
Свойство работает и в обратную сторону.
Вернемся к нашему примеру. Разложим « y 9 » на множители со степенями так, чтобы одна из степеней нацело делилась на « 2 ». Представим степень « 9 » как сумму чисел « 9 = 6 + 3 ».
Используем свойство произведения степеней с одинаковым основанием в обратную сторону и разложим « у » на множители.