Как отметить точки на координатной плоскости
Координатная плоскость: что это такое? Как отмечать точки и строить фигуры на координатной плоскости?
Математика — сложная наука. Изучая его, нужно не только решать примеры и задачи, но и работать с различными фигурами и даже планами. Одна из наиболее часто используемых в математике — это плоская система координат. Детей учили работать с ней больше года. Поэтому важно знать, что это такое и как с ним правильно работать.
Давайте узнаем, что это за система, какие действия можно выполнять с ее помощью, а также узнаем ее основные особенности и характеристики.
Определение понятия
Координатная плоскость — это плоскость, на которой определена определенная система координат. Эта плоскость определяется двумя прямыми линиями, пересекающимися под прямым углом. Начало координат находится в точке пересечения этих линий. Каждая точка на координатной плоскости определяется парой чисел, называемых координатами.
На школьном курсе математики школьники должны тесно работать с системой координат: строить на ней фигуры и точки, определять, к какой плоскости принадлежит конкретная координата, а также определять координаты точки и записывать или называть их. Поэтому поговорим подробнее обо всех характеристиках координат. Но сначала коснемся истории создания, а потом поговорим о том, как работать в координатной плоскости.
Историческая справка
Идеи создания системы координат были еще во времена Птолемея. Уже тогда астрономы и математики думали о том, как научиться определять положение точки на плоскости. К сожалению, тогда еще не было известной нам системы координат, и ученым пришлось использовать другие системы.
Первоначально они устанавливают точки, указывая широту и долготу. Долгое время это был один из самых распространенных способов отображения той или иной информации. Но в 1637 году Рене Декарт создал свою систему координат, которая позже была названа в честь великого «картезианского» математика».
После выхода в свет работы «Геометрия» система координат Рене Декарта получила признание в научных кругах.
Уже в конце 17 века понятие «координатная плоскость» получило широкое распространение в мире математики. Несмотря на то, что с момента создания этой системы прошло несколько столетий, она до сих пор широко используется в математике и даже в жизни.
Примеры координатной плоскости
Прежде чем мы поговорим о теории, вот несколько наглядных примеров координатной плоскости, чтобы вы могли ее представить. Система координат в основном используется в шахматах. На доске у каждого квадрата есть свои координаты: согласованная буква, вторая цифровая. С его помощью можно определить положение той или иной фигуры на доске.
Второй по яркости пример — всеми любимая игра «Морской бой». Вспомните, как во время игры вы вызываете координату, например B3, тем самым указывая, куда именно нужно прицелиться. При этом, размещая корабли, вы задаете точки на координатной плоскости.
Эта система координат широко используется не только в математике, логических играх, но и в военном деле, астрономии, физике и многих других науках.
Оси координат
Как уже было сказано, в системе координат различают две оси. Поговорим о них немного, так как они имеют немалое значение.
Первая ось — абсцисса — горизонтальна. Он упоминается как (Бык). Вторая ось — это ордината, которая проходит вертикально через начало координат и обозначается как (Oy). Именно эти две оси образуют систему координат, разделяющую плоскость на четыре четверти. Начало координат находится в точке пересечения этих двух осей и принимает значение 0. Только если плоскость образована двумя осями, которые пересекаются перпендикулярно и имеют начало координат, это координатная плоскость.
Также обратите внимание, что каждая из осей имеет собственное направление. Обычно при построении системы координат принято указывать направление оси в виде стрелки. Также при построении координатной плоскости каждая из осей подписывается.
Четверти
Теперь несколько слов о таком понятии, как четверть координатной плоскости. План разделен двумя осями на четыре четверти. Каждому из них присвоен свой номер, при этом нумерация этажей — против часовой стрелки.
Каждый из микрорайонов имеет свои особенности. Следовательно, в первой четверти абсцисса и ордината положительны, во второй абсцисса отрицательна, ордината положительна, в третьей и абсцисса, и ордината отрицательны, в четвертой абсцисса положительна, а ордината отрицательный.
Запомнив эти особенности, вы легко сможете определить, к какому кварталу относится та или иная точка. Кроме того, эта информация может быть полезна, если вам нужно выполнить вычисления с использованием декартовой системы.
Работа с координатной плоскостью
Когда мы понимаем концепцию самолета и говорим о его помещениях, мы можем перейти к проблеме, как работать с этой системой, а также поговорить о том, как наносить на нее точки, координаты фигур. С точки зрения координат это не так сложно, как может показаться на первый взгляд.
В первую очередь строится сама система, на нее нанесены все важные обозначения. Итак, мы работаем напрямую с точками или фигурами. В этом случае даже при построении фигур сначала прорисовываются точки на плоскости, потом уже прорисовываются фигуры.
Далее мы поговорим более подробно о построении системы и непосредственном рисовании точек и фигур.
Правила построения плоскости
Если вы решили начать отмечать фигуры и точки на бумаге, вам понадобится координатная плоскость. На него наносятся координаты точек. Чтобы построить координатную плоскость, вам понадобится всего лишь линейка и ручка или карандаш. Сначала проводится горизонтальная абсцисса, затем вертикальная — ордината. Важно помнить, что оси пересекаются под прямым углом.
Кроме того, на каждой оси указано направление и они помечены с использованием общепринятых обозначений x и y. Точка пересечения осей также отмечена и подписана цифрой 0.
Следующий обязательный элемент — это маркировка. На каждой из осей в обоих направлениях отмечены и подписаны единицы-сегменты. Это сделано для того, чтобы потом с самолетом можно было работать с максимальным комфортом.
Отмечаем точку
Теперь поговорим о том, как нанести координаты точек на координатную плоскость. Это основы, которые вам нужно знать, чтобы успешно размещать различные фигуры на плоскости и даже отмечать уравнения.
При нанесении точек помните, как правильно записываются их координаты. Итак, обычно при указании точки в скобках пишут два числа. Первое число указывает координату точки по оси абсцисс, второе — по оси ординат.
Точка должна быть построена так. Сначала отметьте данную точку на оси Ox, затем отметьте точку на оси Oy. Далее из этих обозначений проведите воображаемые линии и найдите место их пересечения — это будет указанная точка.
Вам просто нужно отметить это и подписать. Как видите, все довольно просто и не требует особых навыков.
Размещаем фигуру
Теперь перейдем к такому вопросу, как построение фигур на координатной плоскости. Чтобы построить любую фигуру на координатной плоскости, вам нужно знать, как размещать на ней точки. Если вы знаете, как это сделать, не так уж сложно разместить фигуру на плоскости.
Прежде всего, вам понадобятся координаты точек фигуры. Именно на них мы применим выбранные вами геометрические фигуры к нашей системе координат. Рассмотрите возможность рисования прямоугольника, треугольника и круга.
Начнем с прямоугольника. Применять довольно просто. Сначала на плоскости рисуются четыре точки, которые обозначают углы прямоугольника. Затем все точки соединяются последовательно друг с другом.
Рисование треугольника ничем не отличается. Единственное, что у него три угла, а это значит, что на плоскость нанесены три точки, которые обозначают ее вершины.
Что касается круга, здесь вы должны знать координаты двух точек. Первая точка — это центр круга, вторая — точка, указывающая его радиус. Эти две точки нарисованы на плоскости. Затем берется компас, измеряется расстояние между двумя точками. Точка компаса помещается в центр и описывается круг.
Как видите, здесь тоже нет ничего сложного, главное, чтобы у вас всегда были под рукой линейка и компас.
Теперь вы знаете, как рисовать координаты фигур. С точки зрения координат это не так сложно, как может показаться на первый взгляд.
Выводы
Итак, мы рассмотрели с вами одну из самых интересных и основных математических концепций, с которой приходится иметь дело каждому ученику.
Мы обнаружили, что координатная плоскость — это плоскость, образованная пересечением двух осей. С его помощью можно задавать координаты точек, наносить на них фигуры. Самолет разделен на микрорайоны, каждый из которых имеет свои особенности.
Главный навык, который следует развивать при работе с координатной плоскостью, — это умение правильно наносить на нее заданные точки. Для этого следует знать правильное положение осей, характеристики четвертей и правила, по которым задаются координаты точек.
Надеемся, что представленная нами информация была доступной и понятной, а также что она была полезной для вас и помогла вам лучше разобраться в этой теме.
Как найти координаты точки?
3 класс, 4 класс, 9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Понятие системы координат
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты вашей квартиры тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится тот дом, где вы живете. С точками на плоскости та же история.
Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.
Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.
Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.
Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.
Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.
У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:
Определение координат точки
Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.
Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.
Чтобы узнать координаты точки на плоскости, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра.
Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.
Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).
Особые случаи расположения точек
В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:
Способы нахождения точки по её координатам
Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.
Способ первый. Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):
Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):
Чтобы легко и быстро находить координаты точек или строить точки по координатам, скачайте готовую систему координат и храните ее в учебнике:
Урок 46 Бесплатно Координатная плоскость
До этого занятия мы обсуждали с вами только прямую и все, что с ней связано.
Сегодня урок посвятим изучению плоскости.
Узнаем, что называют координатной плоскостью и как получить её из обычной плоскости.
Познакомимся с прямоугольной системой координат на плоскости и разберем ее основные характеристики и особенности.
Выясним области применения и использования систем координат в практических целях и в жизни человека.
Научимся пользоваться прямоугольной системой координат на плоскости: определять координаты заданных точек и по заданным координатам точки находить ее положение на координатной плоскости.
Координатная плоскость и ее основные особенности
Представим движение автомобиля по прямолинейному участку дороги.
Любой прямолинейный участок дороги легко представить с помощью координатной прямой.
Координатная прямая позволяет нам связать точки на этой прямой с числом.
Вам уже известно, как из любой прямой получить координатную прямую.
Необходимо на прямой выбрать начало отсчета, задать направление и единичный отрезок (масштаб).
В результате с помощью координатной прямой вы однозначно определите, что конкретной точке на прямой соответствует ее единственное верное значение с соответствующим знаком.
И наоборот, если известна координата точки, то можно определить положение этой точки на координатной прямой.
Таким образом, для указания местоположения точки (в нашем случае автомобиля) на прямой нужна только одна координата на координатной оси.
В жизни часто приходится устанавливать положение точки по нескольким параметрам. В таком случае для однозначного определения положения точки требуется больше информации.
Предположим, купили мы билет на концерт.
Чтобы определить расположение конкретного кресла в зале, в билете указывают адрес места: номер ряда и номер кресла в ряду.
Так как каждому месту ставится в соответствие два числа, то для однозначного определения положения точки нам не будет хватать одной координатной прямой.
Для обозначения числами точного положения точки на плоскости используют математическую модель, которую называют координатной плоскостью.
Чтобы из обычной плоскости получить координатную, необходимо на этой плоскости задать определенную систему координат.
Существует различные системы координат.
Мы рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости.
Прямоугольной системой координат на плоскости называют систему из двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом отсчета и общей масштабной единицей.
Рассмотрим основные составляющие прямоугольной системы координат.
Единичный отрезок выбирается чаще всего одинаковый для каждой координатной оси.
Направление осей указывается стрелкой, каждая ось подписывается буквой.
Для координатных осей обычно выбирают положительное направление, т.е. «по умолчанию» принято использовать правостороннюю систему координат, в которой за положительное направление осей принимают ось ординат, направленную вверх, и ось абсцисс, направленную вправо.
Если приходится по каким-либо причинам использовать левостороннюю прямоугольную систему координат, то данный факт оговаривают в задаче.
Положение точки на плоскости определяется двумя упорядоченными числами: координатами х и y.
Координату точки на плоскости записывают так:
Например, координата точки A:
A(2;-1), где
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Чтобы запомнить порядок следования абсциссы и ординаты в записи координаты точки, часто используют такое сравнение:
Представьте, многоэтажный дом, а в нем вашу квартиру.
Чтобы попасть домой, первым делом вам необходимо зайти в нужный подъезд (координата по оси Ох), а затем подняться на нужный этаж (координата по оси Оу).
Координаты могут иметь различные числовые значения, в том числе быть равными нулю.
Если ордината точки равна нулю, то точка лежит на оси Ох.
Если абсцисса точки равна нулю, то точка лежит на оси Оу.
Нумерация координатных плоскостей ведется против часовой стрелки римскими цифрами I, II, III, IV.
Если точка имеет положительную координату х (х > 0) и положительную координату у (у > 0), то она лежит в I координатной четверти.
Если точка имеет отрицательную координату х (х 0), то она лежит во II координатной четверти.
Античные ученые, мыслители (астрономы, философы, географы) на протяжении нескольких столетий пытались создать теорию о происхождении окружающего мира и всего мироздания в целом, изобразить известные им моря, океаны, страны в чертежах, а звездное небо на карте.
Благодаря великим умам появилось огромное множество фундаментальных знаний, понятий, представлений.
Появилось представление о Земле как о шаре, о ее расположение на звездном небе; создавались все более совершенные карты и планы, методы определения географических координат; на карту наносились линии широты и долготы, сетка параллелей и меридиан.
Долгое время лишь география и астрономия пользовались данными знаниями.
В XIV веке французский философ, астроном, математик Никола Орем пытался применить метод координат к геометрии.
Одной из самых важных математических работ Орема стал «Трактат о конфигурации качеств».
Именно в этой работе он ввел графическое изображение зависимости одной величины от другой с помощью прямоугольной системы координат, называя широтой и долготой то, что сейчас называют абсциссой и ординатой.
Это нововведение стало отправной точкой создания современного метода координат.
Научному обоснованию прямоугольной системы координат мы обязаны французскому ученому, философу Рене Декарту.
Он обобщил известные на то время знания по этой теме и дал научное истолкование прямоугольной системе координат.
Предложенная им прямоугольная система координат получила его имя, ее стали называть декартовой системой координат.
Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии.
Создание аналитической геометрии позволило переводить геометрические свойства тел и кривых на алгебраический язык, вместо геометрических построений использовать расчеты; кроме того, стало возможным анализировать геометрические объекты с помощью уравнений.
Развитием координатного метода и аналитической геометрии занимался также современник Рене Декарта, знаменитый французский ученый Пьер Ферма.
Однако все научные труды Ферма были опубликованы только после его смерти
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Как отметить точки на координатной плоскости
Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом друг к другу (такие прямые называются взаимно перпендикулярными),—ось х и ось у— с точкой пересечения О, являющейся начальной точкой каждой из этих осей. Единичные отрезки осей возьмем равными друг другу.
Говорят, что этим на плоскости определена прямоугольная система координат хОу. Ее называют еще декартовой системой координат по имени французского математика и философа Декарта, введшего в математику это важное понятие.
Ось х называют еще осью абсцисс, а ось у—осью ординат. Точку О пересечения осей координат называют началом системы координат. Плоскость, на которой задана декартова система координат, называют координатной плоскостью.
Обычно ось абсцисс рисуют в виде горизонтальной прямой, направленной вправо, а ось ординат—в виде вертикальной прямой, направленной вверх (рис. 9.9).
Пусть A — произвольная точка координатной плоскости. Проведем через точку А прямые, параллельные осям координат.
Прямая, параллельная оси у, пересечет ось х в точке A1, а прямая, параллельная оси х, пересечет ось у в точке А2. Координата точки A1 на оси х называется абсциссой точки А. Координата точки А2 на оси у называется ординатой точки А. Абсцисса х и ордината у точки А называются координатами точки А.
Координаты точки записывают в скобках рядом с буквой, обозначающей эту точку: А (х; у), причем на
первом месте пишется абсцисса, а на втором месте—ордината. Например, точка А, изображенная на рис. 9.10, имеет абсциссу х = 4 и ординату у = 3, поэтому пишут: А (4; 3).
Прямоугольная система координат хОу разделяет плоскость на четыре части, называемые координатными углами или координатными четвертями.
Мы обозначим их римскими цифрами I, II, III, IV (рис. 9.12).
Если исключить точки, лежащие на осях координат, то можно сказать, что точки угла I имеют координаты (х; у) такие, что x > 0, у > 0;
точки угла II имеют координаты (x; у) такие, что
точки угла III имеют координаты (х; у) такие, что
Прямоугольная система координат. Ось абсцисс и ординат
Прямоугольная декартова система координат
Французский математик Рене Декарт предложил вместо геометрических построений использовать математические расчеты. Так появился метод координат, о котором мы сейчас расскажем.
Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты школы тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится наша школа. С точками на плоскости та же история.
Координатой можно назвать номер столика в кафе, широту и долготу на географической карте, положение точки на числовой оси и даже номер телефона друга. Проще говоря, когда мы обозначаем какой-то объект набором букв, чисел или других символов, тем самым мы задаем его координаты.
Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.
Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.
Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.
Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.
Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.
Единичные отрезки располагаются справа и слева от оси Oy, вверх и вниз от оси Oy. Числовые значения на оси Oy располагаются слева или справа, на оси Ox — внизу под ней. Чаще всего единичные отрезки двух осей соответствуют друг другу, но бывают задачи, где они не равны.
Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.
У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:
Чтобы узнать координаты точки в прямоугольной системе координат, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра. Координаты записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Координаты точки в декартовой системе координат
Для начала отложим точку М на координатной оси Ох. Любое действительное число xM равно единственной точке М, которая располагается на данной прямой. При этом начало отсчета координатных прямых всегда ноль.
Каждая точка М, которая расположена на Ох, равна действительному числу xM. Этим действительным числом и является ноль, если точка М расположена в начале координат, то есть на пересечении Оx и Оу. Если точка удалена в положительном направлении, то число длины отрезка положительно и наоборот.
Число xM — это координата точки М на заданной координатной прямой.
Пусть точка будет проекцией точки Mx на Ох, а My на Оу. Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям Оx и Оу прямые, после чего получим соответственные точки пересечения Mx и My.Тогда у точки Mx на оси Оx есть соответствующее число xM, а My на Оу — yM. Как это выглядит на координатных осях:
Каждой точке М на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат соответствует пара чисел (xM, yM), которые называются ее координатами. Абсцисса М — это xM, ордината М — это yM.
Обратное утверждение тоже верно: каждая пара (xM, yM) имеет соответствующую точку на плоскости.