задание 19 номер 171

Задание 19 номер 171

Для каждого натурального числа n обозначим через n! произведение первых n натуральных чисел (1! = 1).

а) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 10 нулями?

б) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 17 нулями?

в) Сколько существует натуральных чисел n, меньших 75, для каждого из которых десятичная запись числа n! · (75 − n)! оканчивается ровно 17 нулями?

Раскладывая все числа от 1 до n на простые множители и объединяя затем множители 2 и 5 в пары, мы будем получать множители 10, которые просто прибавляют 0 на конце числа. Когда множители 2 или 5 (на самом деле всегда 5) закончатся, оставшееся число не будет кончаться на 0, поэтому количество нулей равно либо суммарному количеству пятерок, либо суммарному количеству двоек в разложении всех чисел от 1 до n на простые множители.

а) Пусть n = 45. Есть ровно 9 чисел кратных 5 от 1 до 45, при этом одно (25) содержит сразу две пятерки. Ясно, что 10 двоек наберется (там есть 22 четных числа, дающих минимум по одной двойке).

нулей. Заметим, что при целом k [α] + [k − α] = k при целом α и [α] + [k − α] = k − 1 при нецелом α, поэтому или 14 и или 2. Нас интересует вариант 15 + 2 (вариант 14 + 3 означал бы, что n не кратно 5, но кратно 25, что невозможно). Значит n кратно 5, но не 25. Таких чисел 12.

Отметим, что одно из чисел n или 100 − n не меньше 38, поэтому его факториал содержит не менее 19 четных множителей, так что двоек на все эти пятерки хватит.

Источник

Задание 19 номер 171

Для подкормки растений в почву вносят 4 г фосфора на один квадратный метр. Какую массу (в граммах) фосфата натрия нужно взять для подкормки 100 м 2 почвы? Запишите число с точностью до целых.

Фосфат натрия — химическое соединение соль ортофосфорной кислоты, используется в качестве фосфатного удобрения.

Вычислите в процентах массовую долю фосфора в фосфате натрия. Запишите число с точностью до целых.

Формула фосфата натрия: Его молекулярная масса: поэтому

Молярная масса фосфата натрия равна Доля фосфора в нём равна Тогда необходимая масса фосфата натрия составит

Для подкормки растений в почву вносят 5 г азота на один квадратный метр. Какую массу (в граммах) калийной селитры нужно взять для подкормки 150 м 2 почвы? Запишите число с точностью до целых.

Нитрат калия (калийная селитра) — химическое соединение используется в качестве ценного удобрения.

Вычислите в процентах массовую долю азота в нитрате калия. Запишите число с точностью до целых.

Формула нитрата калия: . Его молекулярная масса: поэтому

Молярная масса нитрата калия равна Доля азота в нём равна Тогда необходимая масса нитрата калия составит

Сколько граммов сульфата меди(II) нужно внести в реакционную смесь, если для проведения реакции необходимо 8 г меди(II)?

Сульфат меди(II) — химическое соединение одна из важнейших солей меди, часто используется в качестве исходного сырья для получения других соединений меди.

Вычислите в процентах массовую долю кислорода в сульфате меди(II). Запишите число с точностью до целых.

Формула сульфата меди(II): . Его молекулярная масса: поэтому

Какая масса (в граммах) меди содержится в 64 г сульфата меди(II)? Ответ запишите с точностью до десятых.

Молярная масса сульфата меди(II) Доля меди в нём равна Тогда масса меди составит

Молярная масса сульфата меди(II) равна Доля меди(II) в нём равна Тогда необходимая масса сульфата меди(II) составит

Хлорид цинка — химическое соединение используется при электролитическом методе цинкования.

Вычислите в процентах массовую долю хлора в хлориде цинка. Запишите число с точностью до целых.

Формула хлорида цинка: . Его молекулярная масса: поэтому

Молярная масса хлорида цинка равна Доля цинка в нём равна Тогда необходимая масса хлорида цинка составит

Источник

Задание 19 номер 171

Укажите номера верных утверждений.

1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2) Вертикальные углы равны.

3) Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны» — верно по признаку подобия треугольников.

2) «Вертикальные углы равны» — верно, это теорема планиметрии.

3) «Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой» — неверно, это утверждение справедливо только для равностороннего треугольника.

Заметим, что признак подобия треугольников в учебнике геометрии сформулирован так: «если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны». В утверждении номер 1 опущено слово «соответственно», что не меняет сути.

Укажите номера верных утверждений.

1) Существует квадрат, который не является прямоугольником.

2) Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.

3) Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Существует квадрат, который не является прямоугольником» — некорректное утверждение, корректное — «Существует прямоугольник, который не является квадратом».

2) «Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны» — верно, т. к. треугольник, два угла которого равны является равнобедренным, причём равные стороны лежат напротив равных углов.

3) «Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны» — верно, это теорема планиметрии.

Укажите номера верных утверждений.

1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.

2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части» — верно по свойству равнобедренного треугольника.

2) «В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны» — неверно, это утверждение справедливо только для прямоугольника, у которого все стороны равны, то есть для квадрата.

3) «Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу» — верно, т. к. окружность — множество точек, находящихся на заданном расстоянии от данной точки.

Источник

Задание 19 номер 171

Какие из следующих утверждений верны?

1) Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.

2) Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.

3) Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10.

4) Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.» — неверно, фигуры, у которых равны площади называются равновеликими, но не равными.

2) «Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.» — неверно, площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

3) «Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10.» — неверно, площадь треугольника равна

4) «Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.» — верно, площадь параллелограмма равна

Укажите номера верных утверждений.

1) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.

2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

3) В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым» — неверно, т. к. смежные углы в сумме составляют 180°.

2) «Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны» — верно, т. к. квадрат — частный случай ромба.

3) «В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности» — верно, т. к. окружность — это множество точек, находящихся на заданном расстоянии от данной точки.

Какие из следующих утверждений верны?

1) Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.

2) Прямая не имеет осей симметрии.

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

4) Квадрат не имеет центра симметрии.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.»— неверно, плоская фигура обладает

центральной симметрией, если она симметрична сама себе относительно центра

2) «Прямая не имеет осей симметрии.» — неверно, прямая имеет бесконечное число осей симметрии.

3) «Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.» — верно, каждая ось симметрии любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон проходит через вершину и середину противоположной стороны.

4) «Квадрат не имеет центра симметрии.» — неверно, центр симметрии квадрата является точка пересечения диагоналей.

Какие из следующих утверждений верны?

1) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.

2) Любые два равнобедренных треугольника подобны.

3) Любые два прямоугольных треугольника подобны.

4) Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.»— верно, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2) «Любые два равнобедренных треугольника подобны.» — неверно, так как углы, заключенные между пропорциональными сторонами, не равны.

3) «Любые два прямоугольных треугольника подобны.» — неверно, так как нет второго равного угла.

4) «Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным.» — неверно, треугольник с такими сторонами является прямоугольным.

Какие из следующих утверждений верны?

1) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.

2) Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.

3) Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.

4) В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.» — неверно, квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

2) «Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.» — верно, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

3) «Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.» — верно, остроугольным называется треугольник у которого все углы меньше 90°.

4) «В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.» — верно, по теореме Пифагора.

Какие из следующих утверждений верны?

1) Через любые три точки проходит не более одной окружности.

2) Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.

3) Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются.

4) Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Через любые три точки проходит не более одной окружности.» — верно, Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. Если точки лежат на одной прямой, то окружность провести невозможно. Тем самым, через любые три точки можно провести не более одной окружности.

2) «Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.» — верно, если расстояние от центра до прямой меньше радиуса, то окружности имеют две общие точки, если окружности касаются то окружности имеют одну общую точку, если расстояние больше радиуса, то окружности не имеют общих точек.

3) «Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются» — неверно, окружность, радиус которой равен 3, лежит внутри окружности с радиусом 5.

4) «Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°.» — верно, вписанный угол измеряется половиной дуги,на которую он опирается.

Источник

Задание 19 номер 171

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

а) Пусть в школе № 1 писали тест 2 учащихся, один из них набрал 1 балл, а второй набрал 19 баллов и перешёл в школу № 2. Тогда средний балл в школе № 1 уменьшился в 10 раз.

б) Пусть в школе № 2 писали тест m учащихся, средний балл равнялся B, а перешедший в неё учащийся набрал u баллов. Тогда получаем:

Если то не делится на 10, а 10u делится на 10. Но это невозможно, поскольку

в) Пусть в школе № 1 средний балл равнялся A. Тогда получаем:

Заметим, что если или то не делится на 10. Если или то В первом случае а во втором Значит, ни один из этих случаев не возможен.

При и получаем и Этот случай реализуется, например, если в школе № 1 писали тест 6 учащихся, 3 из них набрали по 1 баллу, а 3 — по 3 балла, в школе № 2 писали тест 3 учащихся и каждый набрал по 5 баллов, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося — 3 балла.

Источник