Найти значение выражения как решать

Числовые и буквенные выражения. Порядок действий.

теория по математике 📈 алгебраические выражения

Числовое выражение – это выражение, состоящее из чисел и знаков действий, а также скобок.

Пример №1. В каждом из этих выражений содержатся числа, между которыми есть знаки действий, а также бывают скобки. Это и есть числовые выражения.

Если выполнить по порядку все действия, которые есть в числовом выражении, то получится определенное число, которое называют значением числового выражения. Порядок действий в числовых выражениях определяется правилами.

Действия сложение и вычитание принято называть действиями первой ступени, а умножение и деление – действиями второй ступени. Возведение в степень – это действие третьей ступени.

Порядок действий в выражении, не содержащем скобки

890 – 567 + 2340 – 124

в данном выражении действия одной ступени (сложение и вычитание), поэтому выполняем их по порядку слева направо:

в этом выражении также действия одной ступени (умножение и деление), поэтому выполняем их по порядку слева направо:

здесь присутствуют действия всех ступеней. Поэтому начинаем выполнять их с наивысшей ступени – возведения в степень. Затем слева направо выполняем деление и умножение, а затем слева направо – сложение и вычитание:

Порядок действий в выражении, содержащем скобки

Если числовое выражение содержит скобки, то выполняют сначала действия в скобках, следуя правилу, а затем – действия за скобками.

(3245 + 67,92:2)×3 + (126×2 – 321:3) – 125

здесь числовое выражение содержит скобки, поэтому действия выполняем в скобках слева (деление, затем сложение), затем в скобках справа (умножение, деление, вычитание):

Теперь выполняем действия за скобками слева направо (умножение, сложение, вычитание):

Буквенные выражения. Числовое значение буквенного выражения.

Выражения, содержащие не только числа и знаки действий, но и буквы, называют буквенными. Буквы также можно называть «переменная». Обращаем внимание на то, что знак «умножить» между числом и буквой не пишется.

Пример №6. Примеры буквенных выражений:

Числовое значение буквенного выражения – это значение числового выражения, полученного при подстановке конкретных значений переменной в данное выражение.

Пример №7. Найдем значение выражения с + х при с=23, х=0,17. Для этого подставим вместо с и х их данные числовые значения и получим числовое выражение 23 + 0,17. Теперь вычислим результат и получим 23,17. Таким образом, числовое значение буквенного выражения с + х равно 23,17.

Пример №8. Н айдем значение выражения 11х +(с — d) при х=10, c=178, d=121. Для этого подставляем вместо каждой переменной соответствующие числовые значения и получим числовое выражение 11×10 + (178 – 121). Выполнив действия, получим ответ 167. Это и есть числовое значение буквенного выражения.

Заметим, что и числовые и буквенные выражения можно называть еще как алгебраические выражения.

В данном случае необходимо сначала упростить выражение, для этого раскроем скобки:

(x + 5) 2 — x (x — 10) = x 2 + 2 • 5 • x + 25 — x 2 + 10x

Затем приведем подобные слагаемые:

x 2 + 2 • 5 • x + 25 — x 2 + 10x = 20 x + 25

Далее подставим x из условия:

20 x + 25 = 20 • (-1/20) + 25 = — 1 + 25 = 24

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На координатной прямо отмечены числа a и b:

Какое из приведенных утверждений для этих чисел неверно:

Для удобства решения необходимо оценить данные нам числа. Из координатной прямой видно, что a > 0, так как расположено справа от ноля, а b 0

Значит, утверждение неверно.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

Найдите значение алгебраического выражения

Формулировка задачи: Найдите значение алгебраического выражения.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 5 (Вычисления и преобразования).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.

Найдите значение выражения:

Приведем разность в скобках к общему знаменателю:

Преобразуем первый множитель по формуле разности квадратов и сократим получившуюся дробь:

Найдите значение выражения

Преобразуем числитель по формуле разности квадратов, приведем подобные и сократим дробь:

Найдите значение выражения 2x + y + 6z, если 4x + y = 5, а 12z + y = 7.

Легко заметить, что если мы сложим 2 приведенных равенства, то получим удвоенное значение выражения, которое нужно найти:

4x + y + 12z + y = 4x + 2y + 12z = 5 + 7 = 12

Поэтому нам достаточно разделить получившееся значение пополам:

Найдите значение выражения 5(p(2x) – 2p(x + 5)), если p(x) = x – 10.

Найдем, чему равно p(2x), для этого в функцию p(x) подставим в качестве аргумента 2x:

Найдем, чему равно p(x + 5), для этого в функцию p(x) подставим в качестве аргумента x + 5:

p(x + 5) = x + 5 – 10 = x – 5

Подставим полученные значения в выражение и вычислим его значение:

5(p(2x) – 2p(x + 5)) = 5 ⋅ (2x – 10 – 2 ⋅ (x – 5)) = 5 ⋅ (2x – 10 – 2x + 10) = 5 ⋅ 0 = 0

Найдите значение выражения (√ 10 – 2√ 3 )(√ 10 + 2√ 3 )

Преобразуем выражение по формуле разности квадратов, чтобы избавиться от корней, и вычислим значение выражения:

Найдите значение выражения

Приведем разность в скобках к общему знаменателю и упростим числитель:

Преобразуем первый множитель по формуле разности квадратов и заменим упрощенную разность:

Осталось подставить значение b и вычислить результат:

Найдем значение p(1/b), для этого в функцию p(b) подставим в качестве аргумента 1/b:

Поскольку p(1/b) равно p(b), частное от их деления будет равно 1:

Найдите p(x) + p(6 – x), если

Найдем значение p(6 – x), для этого в функцию p(x) подставим в качестве аргумента 6 – x:

Тогда значение выражения равно:

p(x) + p(6 – x) = p(x) – p(x) = 0

Разделим и числитель и знаменатель на b:

Таким образом среди неизвестных осталась только дробь a/b, которую и нужно найти. Вычислим ее значение из равенства:

Разделим числитель и знаменатель на b и заменим a/b на 3, после чего упростим выражение:

Поделитесь статьей с одноклассниками «Найдите значение алгебраического выражения – как решать».

Есть другой способ решения?

Предложите другой способ решения задачи «Найдите значение алгебраического выражения». Возможно, он окажется более понятным для кого-нибудь:

Источник

Числовые и алгебраические выражения

Тема урока: § 1. Числовые и алгебраические выражения. Работа с числовыми и алгебраическими выражениями позволяет строить математические модели разнообразных ситуаций, представлять сложные смысловые предложения в более удобной форме.

Числовые выражения

Определение:
Числовое выражение — это запись составленная из чисел и знаков арифметических действий, которая имеет смысл.

Примеры числовых выражений

Каждое из них составлено из чисел и знаков действий. Если соблюдая принятый порядок, выполнить указанные действия, то получится число. Это число называют числовым значением выражения или, короче, значением выражения.
Например, \(\footnotesize 2^4-2^3+2^2-2=10\) число \(\footnotesize 10\) — значение данного выражения.

Выражение может состоять и из одного числа. В этом случае значение выражения есть само число.

Выражение \(\frac<35><\textcolor<#3eb489><48:6>-\textcolor<#ed5fa6><8>>\) не имеет числового значения, так как не все указанные действия можно выполнить (деление на нуль невозможно!). О таких выражениях говорят, что они не имеют смысла.

Таким образом, числовое выражение может или иметь одно значение, или не иметь значения.

Алгебраические выражения

Определение:
Алгебраическое выражение — это числовое выражение содержащее буквенную часть и имеющее смысл.

Примеры алгебраических выражений

1. Выражения с одной переменной.

Если множество значений переменной, входящей в выражение, не указано, то считается, что переменная принимает все те значения, при которых выражение имеет смысл. Например, если ничего не сказано о множестве значений переменной \(\footnotesize p\) в выражении \(\footnotesize \frac

<2p-6>,\) то имеется в виду, что переменная \(\footnotesize p\) принимает любые числовые значения, кроме \(\footnotesize 3.\)

2. Выражения с несколькими переменными.

Каждой паре значений переменных \(\footnotesize x\) и \(\footnotesize y\) соответствует определенное значение выражения \(\footnotesize (x-2y)^2\) причем единственное. Составим всевозможные пары значений \(\footnotesize x\) и \(\footnotesize y\) и для каждой из них найдем соответствующее значение выражения:

Значения выражения \(\footnotesize (x-2y)^2\) образуют множество \(\footnotesize \begin 1; 9; 81; 25 \end.\)

Если в выражении с двумя переменными множества их значений не указаны, то считают, что переменные принимают любые значения, при которых данное выражение имеет смысл.

Например, если ничего не сказано о множествах значений переменных \(\small \textcolor<#3eb489>\) и \(\small \textcolor<#ed5fa6>\) в выражении \( \frac<5><\textcolor<#3eb489>-\textcolor<#ed5fa6>>,\) то считается, что переменные \(\small \textcolor<#3eb489>\) и \(\small \textcolor<#ed5fa6>\) принимают любые не равные между собой значения.

Задачи для самостоятельного решения

Задача №1.

Шаг 1. Переведём все смешанные дроби в неправильные (для этого целую часть дроби нужно умножить на знаменатель нецелой части и сложить это с числителем нецелой части, получившийся результат поделить на знаменатель нецелой части).

Шаг 2. Выполним элементарные преобразования (действия).

Шаг 3. Сократим числа:

Шаг 4. Приведём к общему знаменателю.

Шаг 5. Выполним деление и запишем ответ.

Задача №2.

Шаг 1. Выполним действия в скобках. По степени важности выполним деление, а потом сложение.

а) Смешанные дроби переводим в неправильные:

б) Выполним сложение:

Шаг 2. Выполним умножение.

Задача №3.

Шаг 1. Вычислим значение выражения при первом значении переменной.

Шаг 2. Вычислим второе значение выражения.

Шаг 3. Подставим вместо переменной оставшееся значение.

Задача №4.

Шаг 1. Подставим вместо переменных их значения.

Шаг 2. Выполним действия.

Задача №5.

Шаг 1. Найдем значение первого выражения:

Шаг 2. Найдем значение второго выражения:

Источник

Урок 15 Бесплатно Числовые и буквенные выражения

Любые математические задачи и примеры записываются с помощью математического языка.

Математический язык- это язык, не требующий перевода, универсальный и понятный всем, имеющий четкую структуру и грамматику.

Верная математическая запись всегда точна, логична, компактна, удобна для понимания, однозначно отражает действие, операцию, понятие.

Определенная осмысленная последовательность знаков (чисел, букв), связанных между собой знаками арифметических операций, называют математическим выражением.

Математические выражения делят на числовые и буквенные.

На этом уроке вы познакомитесь с числовыми и буквенными выражениями.

Узнаете, какое выражение называют числовым, а какое буквенным.

Научитесь составлять числовые и буквенные выражения к задачам.

Выясните, как правильно записывать, читать и находить значение математических выражений.

Числовые выражения

Числовые выражения вам уже хорошо знакомы.

В начальных классах на уроках математики, решая задачи и примеры, вы составляли и записывали числовые выражения и находили значения этих выражений.

Числовое выражение- это запись, состоящая из чисел, арифметических операций, скобок и иных специальных математических символов.

Числовым выражением можно назвать только такую запись, которая является осмысленной и составлена согласно математическим правилам.

Рассмотрим примеры числовых выражений.

Не каждую математическую запись из символов и знаков можно считать числовым выражением.

Числовое выражение всегда ориентировано на то, чтобы операции, входящие в него, могли быть выполнены.

Если числовое выражение невозможно вычислить, то оно не имеет смысла.

Существуют такие математические записи, которые на первый взгляд можно принять за числовые выражения, но вычислить их невозможно.

Число 15 необходимо разделить на результат операции в скобках, а он равен нулю.

Математические равенства и неравенства выражениями не являются, но равенства и неравенства состоят из математических выражений.

Два числовых выражения, соединенные знаком равно «=», называют числовым равенством.

Два числовых выражения, соединенные знаками больше «>» или меньше « 4 не является числовым выражением, это неравенство.

Смысл решения любой задачи, любого примера заключается в том, чтобы найти значение выражения, которое превращает его в верное равенство.

Число, которое получается после выполнения всех арифметических операций, называют значением числового выражения.

Следовательно, чтобы найти значение числового выражения, необходимо выполнить в определенном порядке все арифметические операции, указанные в выражении.

У числового выражения значение только одно.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Порядок выполнения математических операций очень важен для получения верного значения числового выражения.

В математике порядок выполнения действий в выражении определяют сами арифметические операции и скобки, содержащиеся в данном выражении.

Таким образом, если в числовом выражении стоят скобки, то математическая операция, стоящая в них, выполняется в первую очередь.

Следующими выполняются последовательно слева направо операции умножения и деления, если такие присутствуют в выражении.

Последними выполняются действия сложения и вычитания так же в порядке их следования друг за другом слева направо.

Более подробно порядок выполнения арифметических операций будет рассмотрен несколькими уроками позже.

Важно уметь не только верно записывать числовые выражения, но и уметь их правильно читать.

Чтобы прочитать числовое выражение нужно определить, какая арифметическая операция является последней при вычислении значения этого выражения.

Так, например, если последнее по порядку действие было сложение, то выражение называют «суммой».

Если последним действием является вычитание, то выражение называют «разностью».

Следовательно, если последним действием является умножение, то выражение называют «произведением», если деление- «частным».

Умение составлять математические выражения и находить их значение используют при решении как простых, так и составных задач.

Рассмотрим пример решения составной задачи и выясним особенности процесса составления числовых выражений.

Известно, что любая составная задача содержит несколько простых.

Существуют различные способы оформления решения текстовых задач.

Чаще всего используют такие формы записи решения задач:

1. По действиям с пояснениями.

При решении составных задач важно выделить главное, сделать краткую запись, разделить задачу на простые, составить план решения.

В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на 2 кг больше.

Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?

Запишем кратко условие задачи:

Изобразим к задаче рисунок в виде схемы.

Чтобы определить, сколько собрали клубники за два дня, необходимо знать, какое количество клубники было собрано в первый и во второй день.

Из условия задачи известно количество клубники, собранной в первый день.

Неизвестно количество клубники, собранной во второй день.

Когда будет известно сколько собрали клубники во второй день, можно узнать какое количество ягод собрали за два дня.

Задачу решаем в два действия (каждое действие поясним).

1. Выясним сколько килограммов ягод собрали во второй день.

Известно, что в первый день собрали 12 кг клубники. Так как во второй день собрали на 2 кг больше, то во второй день собрали столько же, как в первый, и еще 2 кг.

Выполним сложение чисел 12 и 2, получим выражение 12 + 2.

Найдем значение данного числового выражения:

12 + 2 = 14 (кг) клубники собрали во второй день.

2. Вторым действием определим общее количество ягод, собранных за два дня.

Необходимо сложить все ягоды, который собрали в первый и во второй день, получим следующее выражение: 12 + 14.

Найдем значение данного числового выражения:

12 + 14 = 26 (кг) клубники собрали за два дня.

Ответ: 26 кг.

Как нам уже известно, решение задачи можно записать не только по действиям, но и в форме выражения.

Запись решения составной задачи с помощью составления по ней итогового числового выражения позволяет увидеть ход решения в целом, и такая запись сокращает время оформления задачи.

Составим числовое выражение для решения нашей задачи.

Согласно рассуждениям, изложенным выше, имеем следующие данные:

Определим общее количество ягод, собранных за два дня.

Сложив все ягоды, собранные в первый и во второй день, получим следующее числовое выражение:

12 + (12 + 2).

Вычислим значение данного выражения, выполнив последовательно все действия в нем.

Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:

12 + (12 + 2) = 12 + 14 = 26 (кг) клубники собрали за два дня.

Ответ: 26 кг.

Попробуем решить вторую задачу.

Задача 2.

В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на 5 кг больше.

Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?

Скорее всего вы заметили, что первая и вторая задачи отличаются только одним числом, а именно число 2 заменено на число 5.

Остальные условия задачи остались прежние.

Все логические рассуждения во второй задаче аналогичны рассуждениям первой.

Таким образом, имеем следующие данные:

Определим общее количество ягод, собранных за два дня.

Сложив все ягоды, собранные в первый и во второй день, получим следующее выражение:

12 + (12 + 5).

Вычислим значение данного выражения, выполнив последовательно все действия в нем.

Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:

12 + (12 + 5) = 12 + 17 = 29 (кг) клубники собрали за два дня.

Ответ: 29 кг.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Буквенные выражения

Рассмотрим еще одну такую же задачу, как первая и вторая, рассмотренные выше, но число, которое менялось в первой и во второй задаче заменим на ☐ пустое окошко, в которое можно вписать любое значение.

Тогда получим следующую задачу:

В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на ☐ кг больше.

Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?

В математике принято обозначать переменное число не пустым окошком, а буквой.

Для нашей задачи вместо пустого окошка поставим латинскую букву «а».

По аналогии с уже решенными задачами математическое выражение для данной задачи будет следующее: 12 + (12 + а).

Если вместо буквы а подставлять различные числа, то каждый раз будем получать различные числовые выражения и, как следствие, различные значения.

Числовое выражение, в котором числа обозначены цифрами и буквами, называют буквенным выражением.

Соответственно, буквенное выражение отличается от числового тем, что содержит букву.

Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются переменными.

Для обозначения чисел буквами используют строчные буквы латинского алфавита.

Буквенные выражения должны быть составлены согласно математическим правилам и по такому же принципу, как числовые выражения.

1. Буквенные выражения используют для математических доказательств, для описания свойств, правил, законов.

Например, переместительное свойство сложения, записанное с помощью буквенных выражений, выглядит так: a + (b + c) = (a + b) + c.

Сочетательное свойство сложения, записанное с помощью буквенных выражений, выглядит так: a + b = b + а.

2. Правило, записанное в виде равенства двух буквенных выражений, называется формулой.

Формула подобно универсальной заготовке позволяет описывать различные процессы, действия, состояния и др.

Формула устанавливает взаимосвязь между величинами.

Например, формула для определения периметра треугольника, записанная с помощью буквенных выражений, выглядит так: P = a + b + c, где

P— это периметр треугольника

а, b, c— это стороны треугольника.

В данном случае буквенная запись позволяет определить периметр (Р) любого треугольника, независимо от размеров его сторон.

3. Умение составлять буквенные выражения и находить их значения при заданном значении переменной используют при решение различных задач

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник