Как выполняется умножение матрицы на число

Умножение матрицы на число

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом матрицу можно умножить на определенное число. Также мы приведем практические примеры и перечислим основные свойства рассматриваемого произведения.

Правило умножения матрицы на число

Результатом умножения матрицы ( A ) на любое число ( m ), не равное нулю, является матрица того же порядка (размера), элементы которой равны произведению соответствующих элементов исходной матрицы на данное число.

В общем виде это выглядит примерно так:

Согласно законам умножениям, порядок сомножителей неважен, т.е.:

Следствие: если у всех элементов матрицы есть общий множитель, его можно вынести за пределы матрицы.

Свойства произведения матрицы и числа

1. Если матрицу умножить на единицу (или наоборот), в результате получится та же самая матрица.

3. Умножение числа на сумму матриц – это то же самое, что и сумма произведений данного числа с каждой матрицей по отдельности.

4. Произведение суммы чисел и матрицы – это то же самое, что и сумма произведений каждого числа и матрицы.

5. Сочетательный закон при умножении применим и к матрицам:

Примеры задач

Пример 2
Выясните, есть ли у матрицы ниже общий множитель, и, если да, вынесите его за ее пределы.

Решение:
Наименьшим общим делителем всех элементом заданной матрицы является число 2, следовательно, его можно вынести за скобки.

Источник

Математика для чайников. Матрицы и основные действия над ними

Определение матрицы

Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.

Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A, матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n, где m – количество строк, а n – количество столбцов.

Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать, умножать на число, умножать между собой, транспонировать. Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.

Операции сложения и вычитания матриц

Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы. Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.

Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.

Умножение матрицы на число

На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:

Операция умножения матриц

И пример с реальными числами. Умножим матрицы:

Операция транспонирования матрицы

Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:

Определитель матрицы

Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!

Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.

А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.

Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.

Источник

Умножение матрицы на число

Лекция№1

МАТРИЦЫ

Определение и виды матриц

Определение 1.1.Матрицей размера т п называется прямоугольная таблица чисел (или других объектов), содержащая m строк и n столбцов.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, А, В, С. Числа (или другие объекты), составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементами матрицы могут быть функции. Для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы латинского алфавита с двойной индексацией: аij, где первый индекс i (читается – и) – номер строки, второй индекс j (читается – жи) – номер столбца.

Определение 1.2.Матрица называется квадратной п-го порядка, если число её строк равно числу столбцов и равно одному и тому же числу п

Для квадратной матрицы вводятся понятия главной и побочной диагонали.

Определение 1.4.Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю

Определение 1.5.Квадратная матрица называется треугольной, если все её элементы, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.

Определение 1.6.Квадратная матрица п-го порядка, у которой все элементы главной диагонали равны единице, а остальные равны нулю, называется единичной матрицей n-го порядка, и она обозначается буквой Е.

Определение 1.7.Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все её элементы равны нулю.

Определение 1.8.Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой.

Определение 1.9.Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом.

Операции над матрицами

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций. Основными операциями над матрицами являются сложение (вычитание) матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Эти операции аналогичны операциям над числами. Специфическая операция – транспонирование матрицы.

Умножение матрицы на число

Определение 1.11.Произведением матрицы А на число λ называется матрица В = А, элементы которой получены умножением элементов мат рицы А на число λ .

Пример 1.1. Найти произведение матрицы А= на число 5.

Правило умножения матрицы на число: чтобы умножить матрицу на число, надо умножить на это число все элементы матрицы.

Следствие.

1. Общий множитель всех элементов матрицы можно вынести за знак матрицы.

2. Произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица: А · 0 = 0.

Сложение матриц

Следствие.Сумма матрицы А с нулевой матрицей равна исходной матрице: А + О = А.

1.2.3. Вычитание матриц

Разность двух матриц одинакового размера определяется через пре- дыдущие операции: А – В = А + (–1)В.

Определение 1.13.Матрица –А = (–1)А называется противоположной матрице А.

Следствие. Сумма противоположных матриц равна нулевой матрице: А + (–А) = О.

Умножение матриц

Определение 1.14.Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Тогда произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.

Пример 1.4. Вычислить произведение матриц А · В, где

A=

A*B=

=

Пример 1.5. Найти произведения матриц АВ и ВА, где

A= , B=

AB= , BA=

Замечания. Из примеров 1.4–1.5 следует, что операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:

1) если произведение матриц АВ существует, то после перестановки сомножителей местами произведение матриц ВА может и не существовать. Действительно, в примере 1.4 произведение матриц AB существует, а произведение ВА не существует;

2) если даже произведения АВ и ВА существуют, то результат произведения может быть матрицами разного размера. В случае, когда оба произведения АВ и ВА существуют и оба – матрицы одинакового размера (это возможно только при умножении квадратных матриц одного порядка), то коммутативный (переместительный) закон умножения всё равно не выполняется, т.е. А В В А, как в примере 1.5;

3) однако если перемножить квадратную матрицу А на единичную матрицу Е того же порядка, тогда АЕ = ЕА = А.

Таким образом, единичная матрица при умножении матриц играет ту же роль, что и число 1 при умножении чисел;

4) произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т. е. из того, что А В = 0, не следует, что А = 0 или B = 0.

Источник

Умножение матриц: примеры, алгоритм действий, свойства произведения

Произведение двух матриц

Произведение матриц (С= АВ) — операция только для согласованных матриц А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

Вычислим произведения АВ=ВА:

Решение, используя правило умножения матриц:

А ⏟ 2 × 3 × В ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

В ⏟ 3 × 2 × А ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3 × 3

Свойства умножения матриц

Свойства умножения матриц:

Проверяем свойство №1: ( А В ) С = А ( В С ) :

Проверяем свойство №2: А ( В + С ) = А В + А С :

Произведение трех матриц

Произведение трех матриц А В С вычисляют 2-мя способами:

Перемножить матрицы 2-мя способами:

Алгоритм действий:

Используем формулу А В С = ( А В ) С :

Умножение матрицы на число

Произведение матрицы А на число k — это матрица В = А k того же размера, которая получена из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:

Свойства умножения матрицы на число:

Найдем произведение матрицы А = 4 2 9 0 на 5.

5 А = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Умножение матрицы на вектор

Чтобы найти произведение матрицы и вектора, необходимо умножать по правилу «строка на столбец»:

А В = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а m 1 а m 2 ⋯ а m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 12 × b 2 + ⋯ + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 c 2 ⋯ c 1 m

А В = а а ⋯ а b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯ a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n

Найдем произведение матрицы А и вектора-столбца В :

Найдем произведение матрицы А и вектора-строку В :

Источник

Умножение матриц.

Умножение матриц – это одна из самых распространенных операций с матрицами. Матрица, которая получается после умножения, называется произведением матриц.

Произведением матрицы A_m×n на матрицу B_n×k будет матрица C_m×k такая, что элемент матрицы C, находящийся в i-ой строке и j-ом столбце, то есть элемент c_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы B.

Процесс умножения матриц возможен только в случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

m = n, значит, умножать данные матрицы можно.

Если же матрицы поменять местами, то, при таких матрицах, умножение уже не будет возможно.

m ≠ n, таким образом, выполнять умножение нельзя:

Довольно часто можно встретить задания с подвохом, когда ученику предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Обратите внимание, что иногда можно умножать матрицы и так, и так. К примеру, для матриц, и возможно как умножение MN, так и умножение NM.

Операция умножения матриц.

Операция умножения матриц – это не очень сложное действие. Умножение матриц лучше понимать на конкретных примерах, т.к. только определение может сильно запутать.

Начнем с самого простого примера:

Необходимо умножить на . Первым делом приведем формулу для данного случая:

– здесь хорошо прослеживается закономерность.

Далее более сложный пример:

Умножить на .

Формула для этого случая: .

Умножение матриц и результат:

В результате получена т.н. нулевая матрица.

Очень важно помнить, что здесь не работает «правило перестановки мест слагаемых» так как почти всегда MN ≠ NM. Поэтому, производя операцию умножения матриц их ни в коем случае нельзя менять местами.

Теперь рассмотрим примеры умножения матриц третьего порядка:

Умножить на .

Формула очень похожа на прошлые:

Решение матрицы: .

Умножение матрицы на число.

Умножение матрицы на число – это тоже самое умножение матриц, только вместо второй матрицы берется простое число. Как можно догадаться, такое умножение выполнять гораздо проще.

Пример умножения матрицы на число:

Тут все понятно – для того, чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый элемент матрицы последовательно умножить на указанное число. В данном случае – на 3.

Еще один полезный пример:

– умножение матрицы на дробное число.

Первым делом покажем то, чего делать не надо:

При умножении матрицы на дробное число не нужно вносить дробь в матрицу, так как это в первую очередь только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем.

.

Что стоит сделать в данном случае – это внести минус в матрицу:

.

Если бы у вас был пример, когда все элементы матрицы делились бы на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

В данном примере можно и нужно умножить все элементы матрицы на ½, т.к. каждый элемент матрицы делится на 2 без остатка.

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

Источник