Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°. Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.
Является ли тетраэдр пирамидой? Да, тетраэдр это треугольная пирамида у которой все стороны равны.
Может ли пирамида быть тетраэдром? Только если это пирамида с треугольным основанием и каждая из её сторон равносторонний треугольник.
Отметим, что очень редко, но встречаются геометрические тела, составленные не из правильных треугольников, и их тоже называют тетраэдры, так как они имеют четыре грани.
Математические характеристики тетраэдра
Тетраэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.
Радиус описанной сферы тетраэдра определяется по формуле:
Сфера может быть вписана внутрь тетраэдра.
Радиус вписанной сферы тетраэдра определяется по формуле:
Площадь поверхности тетраэдра
Для наглядности, площадь поверхности тетраэдра можно представить в виде площади развёртки. Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон тетраэдра (это площадь правильного треугольника) умноженной на 4. Либо воспользоваться формулой:
Объем тетраэдра определяется по следующей формуле:
Высота тетраэдра определяется по следующей формуле:
Расстояние до центра основания тетраэдра определяется по формуле:
Вариант развертки
Древнегреческий философ Платон ассоциировал тетраэдр с «земным» элементом огонь, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали красный цвет.
Заметим, что это не единственный вариант развертки.
Видео. Тетраэдр из набора «Волшебные грани»
Вы можете изготовить модель тетраэдра воспользовавшись деталями для сборки из набора «Волшебные грани».
Сборка многогранника из набора:
Подробная сборка от Алексея Жигулева (youtube-канал Оригами)
Это свойство также применяется к тетрагональным дифеноидам при применении к двум специальным парам ребер.
Сферическая черепица
Ортографическая проекция
Стереографическая проекция
Спиральная укладка
Отношения подгруппы тетраэдрической симметрии
Тетраэдрические симметрии показаны на тетраэдрических диаграммах
Изометрии неправильных тетраэдров
Имя тетраэдра
Край Эквивалентность диаграмма
Описание
Симметрия
Schön.
Кокс.
Сфера.
Ord.
Правильный тетраэдр
C 1
[] +
1
1
Дисфеноиды (четыре равных треугольника)
Тетрагональный дисфеноид
D2
[2,2] +
222
4
Обобщенные дисфеноиды (2 пары равных треугольников)
Дигональный дисфеноид
Объем
Объем тетраэдра определяется формулой объема пирамиды:
Абсолютное значение скалярного тройного произведения можно представить в виде следующих абсолютных значений определителей:
Учитывая расстояния между вершинами тетраэдра, объем можно вычислить с помощью определителя Кэли-Менгера :
В приведенной выше формуле используются шесть длин ребер, а в следующей формуле используются три длины ребер и три угла.
Формула типа Герона для объема тетраэдра
Делитель объема
Неевклидово произведение
Расстояние между краями
Свойства, аналогичные свойствам треугольника
Тетраэдр обладает многими свойствами, аналогичными свойствам треугольника, включая внутреннюю сферу, описанную сферу, средний тетраэдр и внешние сферы. Он имеет соответствующие центры, такие как центр окружности, центр окружности, эксцентриситет, центр Шпикера и такие точки, как центроид. Однако обычно нет ортоцентра в смысле пересечения высот. [14]
Ортогональная линия, проведенная от точки Монжа к любой грани, пересекает эту грань в середине отрезка прямой между ортоцентром этой грани и основанием высоты, опущенной из противоположной вершины.
Радиус двенадцатигранной сферы составляет одну треть описанного радиуса контрольного тетраэдра.
Существует соотношение между углами, образованными гранями общего тетраэдра, определенное формулой [17]
Геометрические отношения
Включение тетраэдров внутрь правильного соединения пяти кубов дает еще два правильных соединения, содержащих пять и десять тетраэдров.
Обычные тетраэдры не могут замощить пространство сами по себе, хотя этот результат кажется достаточно вероятным, чтобы Аристотель утверждал, что это возможно. Однако два правильных тетраэдра могут быть объединены с октаэдром, давая ромбоэдр, который может замостить пространство.
Если ослабить требование, чтобы все тетраэдры были одинаковой формы, можно разбить пространство, используя только тетраэдры, разными способами. Например, можно разделить октаэдр на четыре одинаковых тетраэдра и снова объединить их с двумя правильными. (В качестве примечания: эти два вида тетраэдров имеют одинаковый объем.)
Тетраэдр уникален среди однородных многогранников тем, что не имеет параллельных граней.
Закон синусов для тетраэдров и пространство всех форм тетраэдров
Можно рассматривать две стороны этого тождества как соответствующие ориентации поверхности по часовой стрелке и против часовой стрелки.
Если поставить любую из четырех вершин в роли O, мы получим четыре таких тождества, но не более трех из них являются независимыми: если стороны трех из них умножаются по часовой стрелке, и получается, что произведение равно произведению «против часовой стрелки» стороны одних и тех же трех тождеств, а затем общие множители отменяются с обеих сторон, в результате получается четвертая идентичность.
Закон косинусов для тетраэдров
Внутренняя точка
Inradius
Обозначая внутренний радиус тетраэдра как r, а внутренние радиусы его треугольных граней как ri для i = 1, 2, 3, 4, мы имеем [22] : p.81, # 1990
с равенством тогда и только тогда, когда тетраэдр правильный.
Circumradius
Кругоцентр
В отличие от центроида, центр описанной окружности не всегда может лежать внутри тетраэдра. Аналогично тупому треугольнику, у тупого тетраэдра центр описанной окружности находится вне объекта.
Центроид
Сумма площадей любых трех граней больше площади четвертой грани. [22] : с.225, №159.
Тетраэдр может иметь целочисленный объем и последовательные целые числа в качестве ребер, например, с ребрами 6, 7, 8, 9, 10 и 11 и объемом 48. [27]
Название антипризмы
Дигональная антипризма
(Тригональная) Треугольная антипризма
(Тетрагональная) Квадратная антипризма
Пятиугольная антипризма
Шестиугольная антипризма
Семиугольная антипризма
Восьмиугольная антипризма
Эннеагональная антипризма
Десятиугольная антипризма
Хендекагональная антипризма
Додекагональная антипризма
.
Апейрогональная антипризма
Изображение многогранника
.
Сферическое мозаичное изображение
Плоское мозаичное изображение
Конфигурация вершины.
2.3.3.3
3.3.3.3
4.3.3.3
5.3.3.3
6.3.3.3
7.3.3.3
8.3.3.3
9.3.3.3
10.3.3.3
11.3.3.3
12.3.3.3
.
∞.3.3.3
* n 32 изменение симметрии правильных мозаик: <3, n >
Как все выпуклые многогранники, тетраэдр можно сложить из одного листа бумаги. Имеет два таких сети. [1]
Для любого тетраэдра существует сфера (называемая окружающая сфера), на котором лежат все четыре вершины, и еще одна сфера ( вдохновлять) касательная к граням тетраэдра. [2]
Содержание
Правильный тетраэдр
А правильный тетраэдр тетраэдр, в котором все четыре грани равносторонние треугольники. Это один из пяти регулярных Платоновы тела, известные с глубокой древности.
В правильном тетраэдре все грани имеют одинаковый размер и форму (конгруэнтны), и все ребра имеют одинаковую длину.
Одни только правильные тетраэдры не мозаика (заполните пробел), но если чередовать с правильные октаэдры в соотношении двух тетраэдров к одному октаэдру они образуют чередующиеся кубические соты, который представляет собой мозаику. Некоторые нерегулярные тетраэдры, в том числе Ортосхема Schläfli и Тетраэдр Хилла, можно мозаику.
Координаты правильного тетраэдра
Следующие декартовы координаты определяют четыре вершины тетраэдра с длиной ребра 2 с центром в начале координат и двумя ребрами уровня:
Выражается симметрично в виде 4 точек на единичная сфера, центроид в начале координат, с нижним уровнем грани, вершины:
Относительно базовой плоскости склон лица (2 √ 2 ) вдвое больше ребра ( √ 2 ), что соответствует тому, что горизонтальный пройденное расстояние от основания до вершина по краю вдвое больше, чем по медиана лица. Другими словами, если C это центроид базы, расстояние от C до вершины основания вдвое больше, чем от C до середины края основания. Это следует из того факта, что медианы треугольника пересекаются в его центроиде, и эта точка делит каждый из них на два отрезка, один из которых вдвое длиннее другого (см. доказательство).
Для правильного тетраэдра с длиной стороны а, радиус р его описывающей сферы и расстояний dя из произвольной точки в 3-пространстве к его четырем вершинам, мы имеем [6]
Изометрии правильного тетраэдра
Вершины а куб можно сгруппировать в две группы по четыре, каждая из которых образует правильный тетраэдр (см. выше, а также анимация, показывающий один из двух тетраэдров в кубе). В симметрии правильного тетраэдра соответствуют половине тетраэдров куба: тем, которые сопоставляют тетраэдры сами себе, а не друг другу.
Правильный тетраэдр имеет 24 изометрии, образующие группа симметрии Тd, [3,3], (* 332), изоморфная симметричная группа, S4. Их можно разделить на следующие категории:
Ортогональные проекции правильного тетраэдра
Регулярный тетраэдр имеет два специальных ортогональные проекции, один с центром на вершине или, что эквивалентно, на грани, и один с центром на ребре. Первый соответствует букве A2 Самолет Кокстера.
Ортографическая проекция
В центре
Лицо / вершина
Край
Изображение
Проективный симметрия
[3]
[4]
Поперечное сечение правильного тетраэдра
Два наклонных перпендикулярных противоположных края правильный тетраэдр определить набор параллельных плоскостей. Когда одна из этих плоскостей пересекает тетраэдр, в результате получается поперечное сечение прямоугольник. [7] Когда пересекающаяся плоскость находится рядом с одним из краев, прямоугольник получается длинным и тонким. На полпути между двумя краями пересечение становится квадрат. Соотношение сторон прямоугольника меняется на противоположное, когда вы проходите эту половину пути. Для пересечения квадрата средней точки результирующая граничная линия пересекает каждую грань тетраэдра аналогично. Если тетраэдр разделить пополам на этой плоскости, обе половины станут клинья.
Это свойство также распространяется на тетрагональные дифеноиды применительно к двум специальным парам кромок.
Сферическая черепица
Тетраэдр также можно представить в виде сферическая черепица, и проецируется на плоскость через стереографическая проекция. Эта проекция конформный, сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.
Винтовая укладка
Правильные тетраэдры могут быть сложены лицом к лицу в хиральную апериодическую цепочку, называемую Спираль Бурдейка – Кокстера. В четыре измерения, все выпуклые правильные 4-многогранники с тетраэдрическими ячейками ( 5-элементный, 16 ячеек и 600 ячеек) могут быть построены как мозаики 3-сфера этими цепочками, которые становятся периодическими в трехмерном пространстве граничной поверхности 4-многогранника.
Другие особые случаи
Отношения подгруппы тетраэдрической симметрии
Тетраэдрические симметрии, показанные на тетраэдрических диаграммах
An равнобедренный тетраэдр, также называемый дисфеноид, является тетраэдром, в котором все четыре грани конгруэнтный треугольники. А заполняющий пространство тетраэдр пакеты с соответствующими копиями самого себя на пространство плитки, как дисфеноидные четырехгранные соты.
В треугольный тетраэдр три угла лица в одной вершине равны прямые углы. Если все три пары противоположных ребер тетраэдра равны перпендикуляр, то он называется ортоцентрический тетраэдр. Когда перпендикулярна только одна пара противоположных ребер, это называется полуортоцентрический тетраэдр. An изодинамический тетраэдр тот, в котором чевианы которые соединяют вершины с стимуляторы противоположных граней одновременный, и изогонический тетраэдр имеет параллельные чевианы, которые соединяют вершины с точками контакта противоположных граней с вписанная сфера тетраэдра.
Изометрии неправильных тетраэдров
Имя тетраэдра
Край эквивалентность диаграмма
Описание
Симметрия
Schön.
Кокс.
Сфера.
Ord.
Правильный тетраэдр
Он образует группу симметрии Тd, изоморфный симметричная группа, S4. Правильный тетраэдр имеет Диаграмма Кокстера и Символ Шлефли <3,3>.
Тd Т
[3,3] [3,3] +
*332 332
24 12
Треугольная пирамида
Это дает 6 изометрий, соответствующих 6 изометриям основания. Как перестановки вершин, эти 6 изометрий являются тождеством 1, (123), (132), (12), (13) и (23), образуя группу симметрий C3в, изоморфный симметричная группа, S3. Треугольная пирамида имеет символ Шлефли <3>∨ ().
C3в C3
[3] [3] +
*33 33
6 3
Зеркальная клиновидная кость
У него есть две пары равных ребер (1,3), (1,4) и (2,3), (2,4), и в остальном нет равных ребер. Единственными двумя изометриями являются 1 и отражение (34), что дает группу Cs, также изоморфный циклическая группа, Z2.
Cs =C1 час =C1v
[ ]
*
2
Неправильный тетраэдр (Нет симметрии)
Имеет 8 изометрий. Если ребра (1,2) и (3,4) имеют длину, отличную от длины остальных 4, то 8 изометрий являются тождественными 1, отражениями (12) и (34) и поворотами на 180 ° (12) (34), (13) (24), (14) (23) и неправильные повороты на 90 ° (1234) и (1432), образующие группу симметрии D2d. Тетрагональный дисфеноид имеет диаграмму Кокстера и символ Шлефли s <2,4>.
У него есть две пары равных ребер (1,3), (2,4) и (1,4), (2,3), но в остальном нет равных ребер. Единственными двумя изометриями являются 1 и вращение (12) (34), что дает группу C2 изоморфен циклическая группа, Z2.
Общие свойства
Объем
Объем тетраэдра определяется формулой объема пирамиды:
куда А0 это площадь основание и час это высота от основания до вершины. Это применимо для каждого из четырех вариантов основания, поэтому расстояния от вершин до противоположных граней обратно пропорциональны площадям этих граней.
Если начало системы координат выбрано совпадающим с вершиной d, тогда d = 0, поэтому
Абсолютное значение скалярного тройного произведения можно представить в виде следующих абсолютных значений определителей:
Учитывая расстояния между вершинами тетраэдра, объем можно вычислить с помощью Определитель Кэли-Менгера:
В приведенной выше формуле используются различные выражения со следующей формулой. В приведенной выше формуле используются шесть длин ребер, а в следующей формуле используются три длины ребер и три угла.
Формула типа Герона для объема тетраэдра
Делитель объема
Плоскость, которая разделяет два противоположных края тетраэдра в заданном соотношении, также делит объем тетраэдра в таком же соотношении. Таким образом, любая плоскость, содержащая бимедиан (соединитель середин противоположных ребер) тетраэдра делит пополам объем тетраэдра. [11] [12] : стр.89–90
Неевклидов объем
Для тетраэдров в гиперболическое пространство или в трехмерном эллиптическая геометрия, то двугранные углы тетраэдра определяют его форму и, следовательно, его объем. В этих случаях громкость задается Формула Мураками – Яно. [13] Однако в евклидовом пространстве масштабирование тетраэдра изменяет его объем, но не его двугранные углы, поэтому такой формулы не может быть.
Расстояние между краями
Любые два противоположных ребра тетраэдра лежат на двух косые линии, а расстояние между краями определяется как расстояние между двумя линиями наклона. Позволять d быть расстоянием между линиями перекоса, образованными противоположными краями а и б − c как рассчитано Вот. Тогда другая формула объема дается
Свойства, аналогичные свойствам треугольника
Тетраэдр имеет много свойств, аналогичных свойствам треугольника, включая внутреннюю сферу, описанную сферу, средний тетраэдр и экзосферы. У него есть соответствующие центры, такие как центр окружности, центр окружности, эксцентриситет, Spieker центр и такие точки, как центроид. Однако, как правило, нет ортоцентра в смысле пересечения высот. [14]
Гаспар Монж нашел центр, который существует в каждом тетраэдре, теперь известный как Точка Монжа: точка пересечения шести срединных плоскостей тетраэдра. Срединная плоскость определяется как плоскость, ортогональная ребру, соединяющему любые две вершины, который также содержит центроид противоположного ребра, образованного путем соединения двух других вершин. Если высоты тетраэдра пересекаются, то точка Монжа и ортоцентр совпадают, давая класс ортоцентрический тетраэдр.
Ортогональная линия, проведенная от точки Монжа к любой грани, пересекает эту грань в середине отрезка прямой между ортоцентром этой грани и основанием высоты, отброшенной из противоположной вершины.
В круг из девяти точек общего треугольника имеет аналог в описанной сфере среднего тетраэдра тетраэдра. Это двенадцатиточечная сфера и, помимо центроидов четырех граней эталонного тетраэдра, он проходит через четыре замещающих Точки Эйлера, одна треть пути от точки Монжа к каждой из четырех вершин. Наконец, он проходит через четыре базовые точки ортогональных прямых, отброшенных от каждой точки Эйлера к грани, не содержащей вершину, которая породила точку Эйлера. [16]
Радиус двенадцатиточечной сферы составляет одну треть радиуса описанной окружности контрольного тетраэдра.
Существует соотношение между углами, образованными гранями общего тетраэдра, определяемое выражением [17]
куда αij угол между гранями я и j.
Геометрические отношения
Объем этого тетраэдра составляет одну треть объема куба. Объединение обоих тетраэдров дает правильный полиэдрическое соединение называется соединение двух тетраэдров или же Stella Octangula.
Внутренняя часть Stella Octangula представляет собой октаэдр, и, соответственно, правильный октаэдр является результатом отсечения от правильного тетраэдра четырех правильных тетраэдров половинного линейного размера (т. е. исправление тетраэдр).
Вписывание тетраэдров внутрь правильного соединение пяти кубиков дает еще два правильных соединения, содержащих пять и десять тетраэдров.
Правильные тетраэдры не могут мозаичное пространство сами по себе, хотя этот результат кажется достаточно вероятным, чтобы Аристотель утверждал, что это возможно. Однако два правильных тетраэдра можно объединить с октаэдром, получив ромбоэдр которые могут замостить пространство.
Однако известно несколько неправильных тетраэдров, копии которых могут занимать мозаичное пространство, например дисфеноидные четырехгранные соты. Полный список остается открытой проблемой. [19]
Если ослабить требование, чтобы все тетраэдры были одинаковой формы, можно разбить пространство, используя только тетраэдры, разными способами. Например, можно разделить октаэдр на четыре одинаковых тетраэдра и снова объединить их с двумя правильными. (В качестве примечания: эти два вида тетраэдров имеют одинаковый объем.)
Тетраэдр уникален среди равномерные многогранники в отсутствии параллельных граней.
Закон синусов для тетраэдров и пространство всех форм тетраэдров
Следствие обычного закон синуса это то, что в тетраэдре с вершинами О, А, B, C, у нас есть
Можно рассматривать две стороны этого тождества как соответствующие ориентации поверхности по часовой стрелке и против часовой стрелки.
Ставя любую из четырех вершин в роли О дает четыре таких тождества, но не более трех из них являются независимыми: если стороны трех из них «по часовой стрелке» умножаются и произведение получается равным произведению сторон «против часовой стрелки» тех же трех тождеств, и тогда общие факторы отменяются с обеих сторон, в результате получается четвертая идентичность.
Три угла являются углами некоторого треугольника тогда и только тогда, когда их сумма равна 180 ° (π радиан). Какое условие на 12 углов необходимо и достаточно, чтобы они были 12 углами какого-нибудь тетраэдра? Ясно, что сумма углов любой стороны тетраэдра должна составлять 180 °. Так как таких треугольников четыре, на суммы углов четыре таких ограничения, а количество степени свободы тем самым уменьшается с 12 до 8. Четыре отношения, задаваемые этим синусоидальным законом, дополнительно уменьшают количество степеней свободы, с 8 не до 4, а до 5, поскольку четвертое ограничение не является независимым от первых трех. Таким образом, пространство всех форм тетраэдров 5-мерное. [20]
Закон косинусов для тетраэдров
В закон косинусов для этого тетраэдра, [21] который связывает площади граней тетраэдра с двугранными углами вокруг вершины, задается следующим соотношением:
Внутренняя точка
Позволять п быть любой внутренней точкой тетраэдра объема V для которых вершины А, B, C, и D, а площади противоположных граней равны Fа, Fб, Fc, и Fd. потом [22] : стр.62, # 1609
Для вершин А, B, C, и D, внутренняя точка п, и ноги J, K, L, и M перпендикуляров от п к граням, и предположим, что грани имеют равные площади, тогда [22] : стр.226, # 215
Inradius
Обозначая внутренний радиус тетраэдра как р и inradii треугольных граней как ря за я = 1, 2, 3, 4, имеем [22] : стр.81, # 1990
с равенством тогда и только тогда, когда тетраэдр правильный.
Circumradius
Окружной центр
В отличие от центроида, центр описанной окружности не всегда может лежать внутри тетраэдра. Аналогично тупому треугольнику, центр описанной окружности находится вне объекта для тупого тетраэдра.
Центроид
Центр масс тетраэдра вычисляется как среднее арифметическое его четырех вершин, см. Центроид.
Сумма площадей любых трех граней больше площади четвертой грани. [22] : стр.225, # 159
Целочисленные тетраэдры
Тетраэдр может иметь целочисленный объем и последовательные целые числа в качестве ребер, например, с ребрами 6, 7, 8, 9, 10 и 11 и объемом 48. [27]
Родственные многогранники и соединения
Правильный тетраэдр можно рассматривать как треугольник. пирамида.
Правильный тетраэдр можно рассматривать как вырожденный многогранник, равномерный двуугольный антипризма, где базовые полигоны сокращаются дигоны.
Семья униформы п-гональный антипризмы
Изображение многогранника
.
Апейрогональная антипризма
Сферическое мозаичное изображение
Плоское мозаичное изображение
Конфигурация вершины п.3.3.3
2.3.3.3
3.3.3.3
4.3.3.3
5.3.3.3
6.3.3.3
7.3.3.3
8.3.3.3
9.3.3.3
10.3.3.3
11.3.3.3
12.3.3.3
.
∞.3.3.3
Правильный тетраэдр можно рассматривать как вырожденный многогранник, равномерный двойственный двуугольный трапецоэдр, содержащая 6 вершин, в двух наборах коллинеарных ребер.
Семья п-гональный трапецоэдры
Изображение многогранника
.
Апейрогональный трапецоэдр
Сферическое мозаичное изображение
Плоское мозаичное изображение
Конфигурация лица Vп.3.3.3
V2.3.3.3
V3.3.3.3
V4.3.3.3
V5.3.3.3
V6.3.3.3
V7.3.3.3
V8.3.3.3
V10.3.3.3
V12.3.3.3
.
V∞.3.3.3
Процесс усечения, применяемый к тетраэдру, дает ряд равномерные многогранники. Усечение краев до точек дает октаэдр как выпрямленный тетраэдр. Процесс завершается двунаправленной связью, уменьшая исходные грани до точек и снова создавая самодвойственный тетраэдр.
Этот многогранник топологически связан как часть последовательности правильных многогранников с Символы Шлефли <3,п>, переходя в гиперболическая плоскость.
*п32 изменения симметрии правильных мозаик: <3,п>
Сферический
Евклид.
Компактный гипер.
Paraco.
Некомпактный гиперболический
3.3
3 3
3 4
3 5
3 6
3 7
3 8
3 ∞
3 12i
3 9i
3 6i
3 3i
Тетраэдр топологически связан с серией правильных многогранников и мозаик третьего порядка. фигуры вершин.
Вам будет интересно: Петрозаводский педагогический колледж: стать специалистом заочно
.jpg/440px-Tetraedro_(Matemateca_IME-USP).jpg "440px Tetraedro (Matemateca IME USP)")
