Как перевести дробь в двоичную систему

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную

Перед тем как перейти к алгоритму перевода, вспомним алфавит двоичной и десятичной системы счисления:

Для перевода чисел из десятичной системы в двоичную, воспользуемся соответствующим алгоритмом. Важно заметить, что алгоритм перевода целых и дробных чисел будет отличаться.

Алгоритм перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления

Пример 1 : перевести десятичное число 123 в двоичную систему счисления

Для наглядности произведем деление «столбиком». Решение будет выглядеть следующим образом:

Исходя из вышеприведенного алгоритма, полученные остатки необходимо записать в обратном порядке.

Алгоритм перевода десятичной дроби в двоичную систему

Пример 2: перевести число 0,123 в двоичную систему.

Решение будет выглядеть следующим образом:

0.123 ∙ 2 = 0.246 (0)
0.246 ∙ 2 = 0.492 (0)
0.492 ∙ 2 = 0.984 (0)
0.984 ∙ 2 = 1.968 (1)
0.968 ∙ 2 = 1.936 (1)
0.936 ∙ 2 = 1.872 (1)
0.872 ∙ 2 = 1.744 (1)
0.744 ∙ 2 = 1.488 (1)
0.488 ∙ 2 = 0.976 (0)
0.976 ∙ 2 = 1.952 (1)
0.952 ∙ 2 = 1.904 (1)

В данном примере можно продолжить вычисления, но зачастую, такой точности будет достаточно.

Перевод дробного десятичного числа в двоичную систему

Для того чтобы перевести десятичное число, содержащее дробную часть, необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.

Пример 3: перевести число 110,625 из десятичной системы в двоичную

Для решения примера потребуется отдельно перевести 110 и отдельно 0,625 из десятичной системы в двоичную, используя вышеизложенные алгоритмы. Таким образом переведя 110, получим:

Перевод десятичной дроби 0,625 выглядит так:

0.625 ∙ 2 = 1.25 (1)
0.25 ∙ 2 = 0.5 (0)
0.5 ∙ 2 = 1 (1)

Теперь осталось соединить результаты перевода. Таким образом: 110.625₁₀=1101110.101₂

Обратите внимание, что данный пример наглядно демонстрирует ситуацию, при которой дробная часть стала равной 0 и дальнейшее вычисление закончилось.

Источник

Десятичные дроби и смешанные числа в разных системах счисления.

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую обычно не вызывает проблем. А вот необходимость перевести десятичную дробь или смешанное число (число с целой и дробной частью) из системы в систему часто ставит в тупик даже сильных учеников.

1. Перевод смешанного числа в десятичную систему счисления из любой другой.

Пример 1.

Переведите число 105,4 из восьмеричной системы в десятичную.

Посчитаем сумму произведений цифр числа на 8 (основание системы) в степени разряда числа:

2. Перевод десятичных дробей из десятичной системы счисления в любую другую.

Для перевода десятичной дроби из десятичной системы в любую другую следует умножать дробь, а затем дробные части произведений, на основание новой системы пока дробная часть не станет равной 0 или до достижения указанной точности. Затем целые части выписать, начиная с первой.

Пример 2

Переведите десятичное число 0,816 в двоичную систему с точностью до сотых.

Умножаем дробь 0,816, а затем дробную часть произведения (0,632) на 2 и выписываем целые части, начиная с первой:

Пример 3.

Переведите десятичное число 0,8125 в восьмеричную систему.

Умножаем дробь 0,8125, а затем дробную часть произведения (0,5) на 8 и выписываем целые части, начиная с первой:

3. Перевод смешанных чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Если необходимо перевести смешанное число из десятичной системы в любую другую, следует перевести целую и дробную части, а затем записать, разделив десятичной запятой.

Пример 4.

Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 14,125?

Переведем целую часть числа в двоичную систему:

Переведем дробную часть числа в двоичную систему:

Источник

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

После того, как я сделал несколько калькуляторов для перевода между разными системами счисления — вот список от первой до последней версии, от самого простого к сложному: Перевод числа в другие системы счисления, Перевод из десятичной системы счисления, Перевод из одной системы счисления в другую — в комментариях стали периодически спрашивать — а что же, мол, дробные числа, как же их переводить? И когда спросили больше трех раз, я таки решил изучить этот вопрос.

Результатом стал калькулятор, который вы видите ниже, он умеет переводить и дробные числа в том числе. Как водится, для любознательных под калькулятором немного теории.

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

Теперь теория. Я, честно говоря, думал, что вопрос довольно сложный, но при ближайшем рассмотрении все оказалось проще простого. Надо было только держать в голове тот факт, что речь идет о позиционных системах счисления.
В чем тут суть? Рассмотрим на примере десятичного числа 6.125. Это дробное число в десятичной системе счисления представляется так:

Все просто, не так ли? Та же самая простота сохраняется и при записи дробного числа в любой другой системе счисления. Возьмем, например, горячо любимую каждым программистом двоичную систему и число, например, 110.001. Эта запись есть не что иное как

Да-да, число для примера было выбрано не просто так. То есть, 110.001 в двоичной системе есть 6.125 в десятичной. Принцип, я думаю, ясен.

Есть только одно но — все-таки из-за того, что здесь участвую дроби с разными знаменателями, не всегда одно и тоже число можно одинаково точно выразить в разных системах счисления. Что я имею в виду?

Продолжать можно еще довольно долго, но уже сейчас видно, что 0.8 в десятичной системе это 0.11001100. (дальше очень много цифр) в двоичной. Если честно, то это периодическое число с перидом 1100, так что мы никогда не сможем выразить его точно в двоичной системе счисления. 110011001100. будет продолжаться до бесконечности.

Поэтому перевод дробного числа из одной системы счисления в другую чаще всего дает погрешность. Погрешность эта зависит от того, сколько разрядов мы используем для записи дробной части переведенного числа. Возьмем пример с числом 0.8 и используем для записи его двоичного представления шесть разрядов после запятой — 0.110011. Полученное число вовсе не 0.8, а 0.796875, разница при этом составляет 0.003125. Это и есть наша погрешность перевода десятичного числа 0.8 в двоичный вид при использовании шести разрядов после запятой.

Источник

Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в двоичную

Перевод чисел из различных систем счисления в двоичную сводится к их представлению в виде различных комбинаций двух цифровых символов этой системы – 0 и 1. Для перевода из десятичной системы в двоичную чаще всего используется метод последовательного деления на 2, где 2 – это разряд двоичного кода аналогично 10 в десятичном счислении.

Однако этот метод подходит при переводе целых чисел, для дробей же используют, напротив, умножение. А именно умножают дробную часть на 2 последовательно до тех пор, пока не появится целая часть. При этом удачное умножение, дающее в результате число, большее 1, приносит итоговому двоичному числу цифру 1. А неудачное, после которого число все еще меньше 1, дает цифру 0. При этом цифры дроби в двоичном виде записываются после запятой также, как в исходной десятичной.

3Рассмотрим этот немудреный способ на конкретном примере. Для начала возьмите простую десятичную дробь 0,2. Умножайте последовательно на 2:0,2*2 = 0,4 => 0,0_2;0,4*2 = 0,8 => 0,00_2;0,8*2 = 1,6 => 0,001_2;

Отбросьте целую часть и продолжайте те же действия:0,6*2 = 1,2 => 0,0011_2;Снова отбросьте целую часть и вы вернетесь к числу 0,2. Двоичная дробь оказалась цикличной, т.е. повторяющейся, сокращенно запишите:0,2_10 = 0,(0011)_2, где скобки указываются на повторяемость одной и той же группы цифр.

Таким образом,для перевода в двоичную систему дроби с целой частью сначала переводится именно она, а потом уже число после запятой. Например, переведите число 9,25.Для перевода целой части воспользуйтесь методом последовательного деления: 9/2 = 4 и 1 в остатке;4/2 = 2 и 0 в остатке;2/2 = 1 и 0 в остатке;½ = 0 и 1 в остатке. Запишите полученные остатки справа налево: 9_10 = 1001_2.

6Теперь переведите дробную часть:0,25*2 = 0,5 => 0;0,5*2 = 1 => 1.На этот раз вам повезло, дробь оказалась не цикличной. Запишите итог:9,25_10 = 1001,01_2.

Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления заключается в поиске целых частей при умножении на 2. Например, переведём десятичную дробь 0,625 в двоичную систему счисления. Чтобы найти первую после запятой цифру двоичной дроби, нужно умножить заданное число на 2 и выделить целую часть произведения.

0,625 · 2 = 1,250 (целая часть равна 1);

0,250 · 2 = 0,500 (целая часть равна 0);

0,500 · 2 = 1,000 (целая часть равна 1).

Дробная часть последнего произведения равна 0. Перевод закончен. Записываем в одну строку полученное значение целой части, начиная с первой цифры: 0,62510 = 0,1012. Каждый раз в умножении участвует только дробная часть десятичного числа.

Правило перевода: Чтобы перевести положительную десятичную дробь в двоичную, нужно дробь умножить на 2. Целую часть произведения взять в качестве первой цифры после запятой в двоичной дроби, а дробную часть вновь умножить на 2. В качестве следующей цифры взять целую часть этого произведения, а дробную часть произведения снова умножить на 2 и т.д.

При переводе десятичной дроби в двоичную может получиться периодическая дробь.

Пример. Переведем десятичную дробь 0,3 в двоичную систему счисления.

0,3 · 2 = 0,6 (целая часть равна 0);

0,6 · 2 = 1,2 (целая часть равна 1);

0,2 · 2 = 0,4 (целая часть равна 0);

0,4 · 2 = 0,8 (целая часть равна 0);

0,8 · 2 = 1,6 (целая часть равна 1);

0,6 · 2 = 1,2 (целая часть равна 1);

Дробная часть 0,6 уже была на втором шаге вычислений, поэтому вычисления начнут повторяться. Следовательно, в двоичной системе счисления число 0,3 представляется периодической дробью.

Источник

Как перевести дробь в двоичную систему

Правила перевода правильных дробей

Напомним, что правильная дробь имеет нулевую целую часть, т.е. у нее числитель меньше знаменателя.

Результат перевода правильной дроби всегда правильная дробь.

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную и шестнадцатеричную :

а) исходная дробь умножается на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16);

б) в полученном произведении целая часть преобразуется в соответствии с таблицей в цифру нужной системы счисления и отбрасывается – она является старшей цифрой получаемой дроби;

в) оставшаяся дробная часть (это правильная дробь) вновь умножается на нужное основание системы счисления с последующей обработкой полученного произведения в соответствии с шагами а) и б);

г) процедура умножения продолжается до тех пор, пока ни будет получен нулевой результат в дробной части произведения или ни будет достигнуто требуемое количество цифр в результате;

д) формируется искомое число: последовательно отброшенные в шаге б) цифры составляют дробную часть результата, причем в порядке уменьшения старшинства.

В данном примере процедура перевода прервана на четвертом шаге, поскольку получено требуемое число разрядов результата. Очевидно, это привело к потере ряда цифр.

Пример 2. Выполнить перевод числа 0,847 в шестнадцатеричную систему счисления. Перевод выполнить до трех значащих цифр.

В данном примере также процедура перевода прервана.

Перевод из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную.

Расхождение полученного результата с исходным числом (см. пример 1 ) вызвано тем, что процедура перевода в двоичную дробь была прервана.

Таким образом, 0,1101 2 = 0,8125.

Расхождение полученного результата с исходным числом (см. пример 2 ) вызвано тем, что процедура перевода в шестнадцатеричную дробь была прервана.

Таким образом, 0,D8D 16 = 0,84692.

Перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:

а) исходная дробь делится на тетрады, начиная с позиции десятичной точки вправо. Если количество цифр дробной части исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется справа незначащими нулями до достижения кратности 4;

Поскольку количество цифр дробной части не кратно 4, добавим справа незначащий ноль:

Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:

а) каждая цифра исходной дроби заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей ;

б) незначащие нули отбрасываются.

Отбросим в результате незначащий ноль и получим окончательный ответ: 0,2А 16 = 0,0010101 2

Источник