Как отмечать числа на координатной прямой
Координатная прямая (числовая прямая), координатный луч
Координатный луч изображается по той же схеме, но существенно отличается. Мы ставим точку отсчета и отмеряем единичный отрезок.
Данная статья посвящена разбору таких понятий, как координатный луч и координатная прямая. Мы остановимся на каждом понятии и подробно рассмотрим примеры. Благодаря этой статье вы сможете освежить свои знания или ознакомиться с темой без помощи преподавателя.
Координатный луч
Для того, чтобы определить понятие координатного луча, следует иметь представление о том, что такое луч.
На примере мы видим, что O является началом луча.
Координатный луч изображается по той же схеме, но существенно отличается. Мы ставим точку отсчета и отмеряем единичный отрезок.
От конца единичного отрезка нужно отложить несколько штрихов и сделать разметку.
Координатный луч – это шкала, которая может длиться до бесконечности.
Мы в любом случае сможем продолжить шкалу до того числа, которое нам необходимо. Вы можете записывать числа как удобно – под лучом или над ним.
Для отображений координат луча могут использоваться как заглавные, как и строчные буквы.
Координатная прямая
Проведите луч в противоположную сторону, дополнив его до прямой
Отложите единичные отрезки по примеру, указанному выше
Вы можете отметить только начало отсчета и единичные отрезки. Смотрите на примере, как это будет выглядеть.
Соответствие между точками координатной прямой и действительными числами
Координатная прямая может содержать множество точек. Они напрямую связаны с действительными числами. Это можно определить, как взаимно однозначное соответствие.
Каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.
Для того, чтобы лучше понять правило, следует отметить точку на координатной прямой и посмотреть, какое натуральное число соответствует отметке. Если эта точка совпадает с началом отсчета, она будет отмечена нулем. Если точка не совпадает с началом отсчета, мы откладываем нужное количество единичных отрезков до тех пор, пока не достигнем указанной отметки. Число, записанное под ней, и будет соответствовать данной точке. На примере, указанном внизу, мы покажем вам это правило наглядно.
Если мы не можем найти точку, откладывая единичные отрезки, следует отмечать также точки, составляющие одну десятую, сотую или тысячную долю единичного отрезка. На примере можно подробно рассмотреть данное правило.
Отложив несколько подобных отрезков, мы сможем получить не только целое, но и дробное число – как положительное, так и отрицательное.
Множество действительных чисел включается в себя все числа, которые можно записать в виде дроби. Это позволяет выявить правило.
Каждой точке координатной прямой соответствует конкретное действительное число. Разные точки определяют разные действительные числа.
Это соответствие однозначно –каждой точке соответствует определенное действительное число. Но это работает также и в обратном направлении. Мы также можем указать определенную точку на координатной прямой, которая будет относиться конкретному действительному числу. Если число не является целым, то нам необходимо отметить несколько единичных отрезков, а также десятых, сотых долей в заданном направлении. Например, числу 400350 отвечает точка на координатной прямой, в которую из начала отсчета можно попасть, отложив в положительном направлении 400 единичных отрезков, 3 отрезка, составляющих десятую долю единичного, и 5 отрезков – тысячную долю.
Каждой точке на координатной прямой отвечает действительное число, и каждое действительное число отмечается в виде точки на координатной прямой.
Благодаря этому утверждению координатную прямую зачастую определяют как числовую.
Координаты точек на координатной прямой
Число, соответствующее точке на координатной прямой, называется координатой этой точки.
Ранее было отмечено, что к каждому числу относится единственная точка на прямой. Можно сказать, что координата точки определяет ее положение на прямой. Именно координата задает эту точку.
Урок 27 Бесплатно Координаты на прямой
В этом уроке мы познакомимся с положительными и отрицательными числами, поймем, к чему относится нуль.
Не забудем рассказать также про неположительные и неотрицательные числа, а после этого узнаем, что такое координатная прямая и из чего она состоит.
Положительные и отрицательные числа
Начнем с сухих, но емких определений.
Обычно + не пишется, а просто подразумевается.
Мы могли бы их записать и со знаком «+»:
В таком случае нужно читать запись буквально: «плюс два», «плюс одна вторая» и так далее.
Такая запись добавляет громоздкости записи, и обычно все- таки «+» опускают.
Приведем примеры отрицательных чисел:
-3, \(\mathbf<-\frac<1><6>>\), \(\mathbf<-32\frac<4><5>>\), -784285332
Читать в данном случае также нужно дословно: «минус три», «минус одна шестая» и так далее.
Минус уже опустить нельзя, так как тогда получится, что число положительное.
Важные факты:
Если нам надо сравнить два числа, одно из которых положительное, а другое отрицательное, то можно смело утверждать, что число, которое положительно, больше числа, которое отрицательно.
Если надо сравнить число с нулем, то достаточно понять, положительное оно или отрицательное. Если положительное, значит, больше нуля, если же отрицательное, то меньше нуля.
Более подробно про сравнение чисел мы поговорим в следующих уроках, а пока потренируемся отличать положительные и отрицательные числа.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Неположительные и неотрицательные числа
Иногда необходимо обозначить множество чисел, больших или равных нулю, или же наоборот, меньших или равных нулю.
Удобно, что для этого есть специальные определения.
Соответственно, если мы хотим привести примеры неотрицательных чисел, то можем привести положительные числа или 0.
Примеры: 0, 1, 956, \(\mathbf<\frac<4><9>>\), \(\mathbf<342\frac<1><9>>\).
В данном случае примерами будут соответственно отрицательные числа или 0.
Если необходимо определить, является ли число неотрицательным или неположительным, то ответить надо следующим образом:
Также отметим важные факты про сравнение неположительных и неотрицательных чисел с нулем:
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Координатная прямая
Начнем с определения, а потом посмотрим на вариации и примеры координатных прямых в жизни.
Если хотя бы одной из этих трех составляющих нет, то прямая уже не может быть координатной.
Выше мы показали самую простую вариацию координатной прямой.
Но обычно для удобства наносят штрихи по всей длине, чтобы не отмерять единичные отрезки.
Также мы можем подписывать числа не только под точкой начала отсчета и точкой, дающей понимание о длине единичного отрезка, но и под остальными точками тоже.
Если мы не хотим загромождать картинку, то можно отмечать точки с какой-то периодичностью.
Неизменным на всех этих картинках остается наличие трех пунктов из определения:
В жизни координатные прямые, полностью удовлетворяющие нашему определению, могут встречаться довольно редко.
Например, на ртутном термометре подразумевается, что направление совпадает с направлением увеличения чисел на шкале.
На нем же мы видим, что числа стоят не у каждого штриха, а у каждого 5-го или каждого 10-го, так картинка становится более читаемой.
Еще один пример: обычная линейка или рулетка. Тут тоже направление подразумевается, поэтому нельзя однозначно сказать, что это координатная прямая.
На линейке, в отличие от градусника, не часто увидишь отрицательные числа. Действительно, -5 градусов интересуют нас больше, чем -5 сантиметров.
На этом рисунке видно, что у точки начала координат (точка O) координата равна нулю, а у точки (А), дающей информацию о единичном отрезке,
координата- 1.
Чтобы найти координату точки мы должны отсчитать количество единичных отрезков между точкой и точкой начало отсчета. А дальше, если эта точка стоит после точки начала отсчета, то взять количество единичных отрезков. В противном случае, если точка находится перед точкой начала отсчета, то взять количество единичных отрезков со знаком «минус».
Например, чтобы найти координату точки C мы отсчитываем количество отрезков от начала координат; получаем, что их 2, запоминаем это.
Точка С находится справа от точки начала отсчета, или дальше по направлению, чем точка начала отсчета. Значит, берем непосредственно число 2 в качестве координаты.
Между точкой B и точкой начала отсчета 3 единичных отрезка, но если смотреть относительно точки начала отсчета, то она находится левее или раньше по направлению, значит, мы берем количество единичных отрезков со знаком «минус» и координатой точки B будет \(\mathbf<-3>\).
Естественно, единичных отрезков между точкой и точкой начала отрезков может получиться нецелое число.
Точка D идет перед точкой начала отсчета, если смотреть по направлению, а значит, координата должна быть отрицательный.
Таким образом, координата точки D будет равна \(\mathbf<-1.5>\).
Мы не случайно отходим от простых понятий «справа»/«слева», когда говорим о взаимном расположении точек.
Представьте, что направление идет в другую сторону.
Ну и конечно же, прямая может быть вообще расположена вертикально, тогда говорить о направлениях «право»/«лево» вообще не приходится.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Как отмечать числа на координатной прямой
Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту
В этом уроке Вы узнаете, что такое координатная прямая, научитесь на ней обозначать положительные и отрицательные числа, определять координаты симметричных точек.
Давайте возьмем координатный луч.
На нем отмечено начало – точка О, единичный отрезок и справа от начала координат у нас находятся положительные числа в порядке возрастания.
А где расположить отрицательные?
Чтобы отметить отрицательные числа нужно луч дополнить противоположным ему лучом и нанести на него такие же деления.
Таким образом, получилась координатная прямая.
Справа от точки О – начала координат – находятся положительные числа, а слева – отрицательные.
Следовательно, координатная прямая – это прямая с указанным на ней началом отсчета, направлением отсчета и единичным отрезком.
Координата – число, показывающее положение точки на координатной прямой.
Числа, расположенные справа от точки О на координатной прямой – положительные, соответственно направление, в котором они расположены называют положительным.
Числа, которые расположены слева – отрицательные, поэтому направление, в котором они расположены называется отрицательным.
На координатной прямой стрелкой указывается только положительное направление. Число 0 разделяет положительные и отрицательные числа.
Каждому числу соответствует единственная точка прямой.
Например, числу 3,5 соответствует точка М, которая удалена от начала отсчета, т. е. от точки О, на расстояние, равное 3,5 (в заданном масштабе), и отложена от точки О в заданном (положительном) направлении.
Верно и обратное: каждая точка координатной прямой соответствует единственному числу.
В таких случаях соответственно говорят «ось x», «ось y» или «ось t».
Координатные прямые могут располагаться на плоскости по-разному, не только горизонтально.
Например, шкалу на термометре можно назвать координатной прямой.
Она будет вертикальной.
В этом случае положительные числа будут находиться выше 0, а отрицательные ниже 0.
Выполним практическое задание:
Изобразим координатную прямую.
Для этого начертим прямую, отметим на ней начало координат – точку О, выберем единичный отрезок, нанесем деления справа и слева от 0, покажем стрелкой направление отсчета, назовем координатную прямую «осью х».
Отметим на координатной прямой точки А (3), В (-3).
Обратите внимание: расстояние от точки А до начала координат точки О будет равно расстоянию OB.
точки А и В будут центрально-симметричны относительно начала отсчета координатной прямой точки О (0).
Следует отметить, что центром симметрии точек на координатной прямой может быть любая точка данной прямой.
Поучимся находить симметричные точки на координатной прямой.
Пусть точка О (0) – центр симметрии.
Найдем точку, симметричную точке С (-6).
Такой точкой будет точка расположенная по другую сторону от центра симметрии.
Центром симметрии теперь будет точка А (-2).
Между точками С (-6) и А (-2) – четыре единичных отрезка.
Отсчитаем от точки А (-2) четыре единичных отрезка вправо отметим точку В.
Определим ее координату – (2).
Таким образом, точки С (-6) и В (2) будут центрально-симметричны относительно точки А (-2).
А как определить координату центра симметрии двух точек на координатной прямой?
Пусть даны симметричные точки М(-1,4) и М1(2,6).
Расстояние от точки М до О(0) 1,4, от М1 до начала координат – 2,6.
Центр симметрии должен быть посередине.
Таким образом, в этом уроке Вы узнали, что такое координатная прямая, научились определять координаты точек и находить симметричные точки.
Математика
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
В выходной день папа с Никитой собирались в городской парк, на открытие большой горки.
А если, говоря о погоде, используется слово «плюс», или сообщается количество градусов с использованием выражения «выше нуля», например: «сегодня за окном пятнадцать градусов выше нуля», или «на улице плюс три», то значит, что шкала термометра поднялась выше 0.
Но даже после папиного рассказа у Никиты осталось много вопросов о числовых значениях со знаком минус и плюс. Всю прогулку мальчик думал о непонятных цифрах со знаком «минус».
Найти ответы на все свои вопросы Никита смог, только после того, как внимательно изучил наш урок на сайте 100urokov.ru.
Положительные числа
В каждом доме и квартире есть термометр– незаменимый прибор для измерения температуры воздуха. Давайте внимательно его рассмотрим.
Мы видим шкалу, с нанесенными цифрами, которая расположена в стеклянной колбе. Стоит отметить, что шкала прибора разделена точно пополам делением с цифрой 0. Все цифры, находящиеся вверху от нуля имеют положительное значение и записываются со знаком «плюс».
В арифметике такие значения имеют свое название – положительные.
Примеры положительных чисел: 5,18,39,156.
Исходя из рассмотренного правила, делаем вывод, что числа, перед которыми не стоит знак и числа со знаком «+» равны.
Положительные числа можно использовать для выполнения любых математических действий:
возведения в степень.
Получается, что именно с положительными значениями вы знакомы с первого класса.
Отрицательные числа
Ну а теперь, давайте представим, что за окном зима. Какую же температуру покажет рассмотренный прибор для измерения температуры воздуха?
В зимнее время года холодно. Поэтому, обычно говорят, что держится минусовая температура, то есть столбик прибора не поднимается выше 0.
В математике такие числа принято называть отрицательными, при записи, перед данным числовым значением нужно ставить знак «минус».
Примеры отрицательных чисел:
Координатная прямая
Давайте внимательно рассмотрим шкалу термометра и постараемся схематично её изобразить. Шкала является прямой линией. Чертим её:
Замечаем, что каждое деление соответствует 1 градусу. Выходит, шкала имеет единичный отрезок.
Выбираем на нашем рисунке единичный отрезок не забывая, отложить его в обе стороны от начала отсчета:
Посмотрим на полученное изображение. Построенная геометрическая фигура имеет направление, точку начала отсчета и единичный отрезок. В математике, такие фигуры имеют свое название – координатная прямая.
Важным моментом, является то, что на координатной прямой по правую сторону от точки начала отсчета (0) находятся положительные числа, а по левой стороне – отрицательные (записанные со знаком «минус»).
На самом деле, на рисунке изображен небольшой фрагмент прямой. Данная линия продолжается в обе стороны до бесконечности, так как по определению, она не имеет ни начала, ни конца.
Координата точки
Каждая точка, нанесенная на координатную прямую,всегда имеет свое числовое обозначение или координату.
Разберем на примере.
Построим координатную прямую. Нанесем начало отсчета и выберем единичный отрезок, равный 1 сантиметру. Обозначим деление буквой A:
Читается, точка A с координатой 1.
Нет ничего сложного!
Давайте применим на практике полученные знания и разберем задание.
Постройте координатную прямую и нанесите на неё точки:В(4), С(-2).
Чтобы выполнить данное задание необходимо изобразить прямую, выбрать на ней направление, точку начала координат и единичный отрезок, который будет равен 1 сантиметру.
Теперь нужно поставить точку В с координатой 4. Значение координаты точки положительное, поэтому отмечать её, будем с правой стороны от начала отсчета (0).Координата 4 говорит о том, что отметка В находится от нуля на расстоянии четырех единичных отрезков, то есть, расстояние от нуля до отметки В равно четырем сантиметрам.
Запомни! Положительные числа всегда расположены с правой стороны от нуля, а отрицательные числа с левой стороны от точки начала координат. В данном случае ноль и есть точка начала координат.
Противоположные числа
Рассмотрим такую ситуацию.
На уроке, учительница математики, Нина Николаевна вызвала Егора к доске и дала задание, построить координатную прямую и нанести на неё две отметки с различными координатами положительной и отрицательной.
Егор выполнил задание. Мальчик построил координатную прямую, отметил точку начала координат, направление и единичный отрезок. После этого, школьник нанес на прямую отметки M(3) и K(-3).
Но Егор с нетерпением ждал пояснений Нины Николаевны.
Учительница объяснила детям, что в математике, числа, которые отличаются только знаком, имеют собственное название – противоположные числа.
Если два числа отличаются только знаком, то их называют противоположными числами.
Примеры противоположных чисел:
Но при этом, модули противоположных чисел всегда равны.
Мы видим, что от начала отсчета до точек с координатами (4) и (-4) отложено равное количество единичных отрезков – четыре. Поэтому модуль (количество единичных отрезков от нуля до выбранной точки) в рассматриваемых записях будет одинаковым – |4|.
Выходит, что у противоположных числовых значений равными будут только модули! А сами числа имеют совершенно разное числовое значение!
Егор получил заслуженную пятерку за правильно выполненное задание.
Минутка истории
Отрицательные числа стали для нас чем-то обычным и привычным. Но так было не всегда. Довольно длительное время, положительные значения определяли словом «прибыль», а отрицательные трактовали, как «убыток». И другого применения отрицательным числам не было.
Первыми, признали отрицательные числа, правители Китая в начале 3 века, до нашей эры. Но, несмотря на это, большая часть китайцев считала данное решение правительства бессмысленным. Так как использовать на практике отрицательные числа было негде.
После, числовые значения со знаком «минус», стали использовать в Индии. Их применяли для записи долгов.
В Европу, значения со знаком «минус», попали благодаря Леонардо Пизанскому. Леонардо начал использовать отрицательные числа исключительно для записи в долговой книге и проведения финансовых операций, связанных с долгами. А уже в 1202 году Пизанский подсчитывал свои убытки пользуясь числовыми значениями со знаком «минус».
Однако до начала 19 века рассматриваемые значения находились в гонениях мировых математиков. Ученые утверждали, что выражение 0-4=0 бессмысленно, так как не существует числового значения, которое меньше чем «ничто» (нуль). Поэтому великие математики старались не использовать «бесполезные» цифры в своих вычислительных операциях.