Как оформлять доказательство в геометрии

Приемы учебной работы при обучении решению задач на доказательство

Разделы: Математика

Обучение доказательствам – одна из важнейших целей обучения математике.

Именно при выполнении доказательств оттачивается логическое мышление учеников, разрабатываются логические схемы решения задач, возникает потребность учащихся в обосновании математических фактов.

Начиная изучать геометрию, учащиеся способны осознать необходимость доказательства, однако осуществлению доказательства им только предстоит научиться.

С задачами на доказательство учащиеся встречаются при изучении второй темы курса геометрии 7-го класса “Треугольники”. Опыт проведения доказательств отсутствует. Учащиеся не владеют геометрическим языком, многие не понимают смысла слова “доказать”, поэтому испытывают большие трудности. Я решаю эту проблему, предоставляя учащимся образцы (алгоритмы) доказательства. В ходе изучения теоретического материала вместе с учениками составляем алгоритмы решения задач каждого вида и красочно оформляем их в виде книжки.

Эта книга помогает учащимся в затруднительных случаях быстро найти сходную задачу, вспомнить алгоритм решения, составить план решения.

Обучение решению задач веду постепенно.

7-й класс

Тема “Параллельные прямые”

1.Алгоритм решение задачи: доказать, что прямая … параллельна прямой ….

Тема “Прямоугольный треугольник”

1.Алгоритм решение задачи: доказать, что прямоугольные треугольники … равны

8-й класс

Тема “Параллелограмм”.

1.Алгоритм решение задачи: доказать, что четырехугольник…. будет параллелограммом.

Тема “Подобие треугольников”.

1.Алгоритм решение задачи: доказать, что треугольник …. подобен треугольнику…

Принцип пошаговости формирует навыки решения задач и навыки построения логических цепочек доказательства.

Решение задач учу начинать с предложения “Чтобы доказать, что …”. Ученик называет то, что требуется доказать в конкретной задаче и ведет доказательство по соответствующему алгоритму. Такой ход решения позволяет учащимся понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, формирует умение анализировать, развивает логическое мышление.

Работая в дальнейшем по модели, ученик на каждом шагу контролирует свои действия, обращаясь к выведенному алгоритму. На любом этапе работы ученик может по сигналу учителя передать “эстафету” решения любому ученику. Этим достигается предельное внимание при решении задачи.

Красочно оформленные алгоритмы учащиеся запоминают быстро. И к концу изучения темы “Признаки равенства треугольников” многие учащиеся хорошо проводят доказательные рассуждения, точно и грамотно выражают свои мысли. Данные алгоритмы учащиеся применяют и при доказательстве теорем.

Разработанные алгоритмы позволили логически упорядочить материал, дать его компактное и наглядное изложение. Они способствуют как подсознательному запоминанию, так и осознанному усвоению материала. При пользовании алгоритмами учащиеся лучше осмысливают, осознают логические взаимосвязи. Это помогает им научиться решать задачи.

Пример решения задачи учениками 7-го класса по теме

“Признаки равенства треугольников”

Доказать BD – биссектриса ABC

(Устно). Чтобы доказать, что BD биссектриса, нужно доказать, что угол ABD равен углу DBC.Чтобы доказать, что два угла равны, нужно доказать, что равны треугольники, содержащие эти углы

Работа в тетради. Рассмотрим ABD и BDC

(Устно) Чтобы доказать, что два треугольника равны, найдем у них три равных элемента.

АВ = ВС по условию задачи,

АD = DC по условию задачи,

Значит ABD = BDC по третьему признаку равенства треугольников.

В равных треугольниках соответственные элементы равны.

Значит, угол ABD равен углу DBC.

Следовательно, BD-биссектриса по определению биссектрисы угла.

Алгоритмы решения задач на доказательство.

Задача на доказательство – это утверждение, которое необходимо доказать с помощью аксиом и теорем.

Доказательство ведется на основе признаков равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Алгоритм решения задачи: доказать, что отрезок … равен отрезку ….

В равных треугольниках соответственные элементы равны.

Источник

Начальное обучение решению геометрических задач на доказательство

Начальное обучение решению геометрических задач на доказательство.

В геометрии различают три типа задач.

Можно считать, что задачи на доказательство являются теоремами, но не вошедшими в курс геометрии.

Как решить задачу на доказательство? Какие методы и приемы для этого использовать? Коротко можно ответить так: задачи на доказательство надо решать так, как доказываются теоремы школьного курса геометрии. Но теоремы доказывается учителем, и от учащихся требуется лишь пассивная роль. Поэтому к решению задач на доказательство в классе надо серьезно подходить с самого начала изучения первых теорем геометрии и строить работу с учащимися, поэтапно формулируя у них следующие умения:

* 1-й этап: умение делать чертеж к задаче;

*2-й этап: умение записывать условие и требование задачи;

*3-й этап: умение» видеть» то, что изображено на чертеже;

*4-й этап: умение решать задачу самостоятельно.

В дальнейшем следует уделить внимание формированию:

— умению выполнять дополнительные построения;

— умения выбирать метод решения.

Приведу примеры, как это можно организовать работу в каждом случае.

*Формирование умения делать чертеж к задаче

Учащимся дается текст задачи. Им предлагается построить чертеж, а затем предлагается записать условие.

Задача1. Докажите, что если две высоты треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Дано: АВС,

АА— высота,

СС— высота,

АА = СС.

Доказать: АВС – равнобедренный.

*Развитие умения записывать условие и требование задачи

Учащиеся знакомятся с текстом задачи (его читает учитель или они сами по учебнику), а чертеж к ней дает учитель. Затем дети самостоятельно записывают условие и требование задачи.

Задача 2. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.

Ученикам дается чертеж. Запись условия и требования выглядит так:

Дано: АВС,

АА— медиана.

СС— медиана.

Доказать: АА = СС.

Таким образом, к завершению третьего этапа начального обучения решению геометрических задач учащиеся понимают, что значит доказать то или иное положение, умеют выделять условия и требования задачи, знают, в чем состоит назначение чертежа.

*Развитие умения «видеть» то, что изображено на чертеже

Речь идет об умении находить на чертеже данные и искомые величины, установить зависимость

между ними и затем, используя их и полученные знания, приходить к требуемому выводу.

Приведем пример. Используя ИКТ рассматриваем чертеж и таблицу с условием трех задач.

5= 6.

CAB = DBA.

Доказать: 1 = 2.

Работа с учащимися проходит следующим образом. Задача 1 решается устно с наводящих вопросов учителя (в скобках приведены ответы учащихся).

В какие треугольники входят данные и искомые величины? (В треугольники ABD u BAC). Есть ли у этих треугольников общий элемент? Если есть, то какой? (Да, сторона АВ). По какому признаку равны указанные треугольники? ( По двум сторонам и углу между ними: AD = ВC, АВ – общая сторона, 5 = 6)

4. Какие еще стороны равны у этих треугольников? (Стороны АС и BD).

Затем один из учащихся записывает решение на доске, а остальные – в тетрадях. Приведем запись решения.

Рассмотрим треугольник ABC и треугольник BAD:

5 = 6 – по условию,

АВ – общая, тогда ABC = BAD по двум сторонам и углу между ними.

Задачи 2 и 3 ученикам предлагается решить самостоятельно. Полезно обсудить разные способы решения последней задачи.

* Самостоятельное решение задач

Задача 3. Внутри треугольника АВС дана точка О. Докажите, что ВОС >ВАС.

Чертеж, запись условия и требования выполняются на доске и в тетрадях под руководством учителя.

Дано: АВС,

Доказать: ВОС>ВАС.

Учитель дает указание: «Через точку О проведите отрезок АА(АВС), введите в рассмотрение углы

1 – 6 и примените теорему о внешнем угле треугольника». Само доказательство выполняется учащимися. Вот их рассуждения:

По теореме о внешнем угле треугольника имеем:

3 = 1 +5, 4 = 2 + 6.

Сложим почленно равенства, получим:

3 + 4 = ( 1 + 5) + ( 2 + 6) = (1 + 2) + ( 5 + 6),

3 + 4>1 + 2, т. е. ВОС>ВАС.

Задачи на доказательство нужно решать на протяжении всего курса геометрии в7классе. К сожалению,

В школьном учебнике, особенно в первых параграфах, почти нет легких ( решаюшихся в 1 – 2шага) задач на доказательство, поэтому приведем несколько их примеров ( оформим их как задачи по готовым чертежам, используя ИКТ).

2. Дано: ОВ OD,

OA OC.

Доказать: АОВ = COD.

3. Дано: 1 = 4,

2 = 3.

Доказать: CD AB.

4. Дано: 2 = 4,

Доказать: 1) 1 = 5;

2) 1 = 4;

3) 2 + 3 = 180.

O – общая точка прямых AC и BD.

6. Дано: 1 = 2,

3 = 4.

Доказать: АВС = ADC.

NK – биссектриса MND.

Доказать: MK NK.

*Развитие умения выполнять дополнительные построения

Рассмотрим, например, задачу: «В прямоугольном треугольнике АВС (С = 90) проведена медиана CD. Докажите, что CD = DB».

В данном случае возможны два различных дополнительных построения, приводящие к двум способам решения задачи.

Во – первых, можно отложить на луче CD отрезок DE = DC и свести решение к доказательству равенства гипотенуз треугольников АСВ и ЕВС, откуда следует, что CD = BD.

Во – вторых, можно провести к катетам треугольника АВС отрезки DМВС и DNАС и, опираясь моугольного треугольника на равенство образовавшихся треугольников, показать, что треугольник СDВ – равнобедренный.

Полезно не только обсудить, но и сравнить оба способа решения. К этой задаче следует вернуться в 8классе при изучении свойств прямоугольника. Для доказательства того, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, достаточно достроить треугольник до прямоугольника и воспользоваться свойством диагоналей.

* Умение выбирать метод решения

После решения каждой задачи следует остановиться на том, какие теоремы были использованы. Также очень важно в начале изучения курса геометрии применять метод от противного.

Рассмотрим, как можно это сделать, например, при решении последней задачи. Предварительно объясняем, в чем состоит метод от противного: сначала предполагается, что доказываемое утверждение неверно, затем в ходе рассуждения выясняется, что такое предположение само приводит к неверным умозаключениям.

Для отрезков CD и DB может выполняться одно из условий: CD = DB, CD DB (рис. 8)

Учащиеся устанавливают, что ни одно, ни другое неравенство невозможно. Разобьем доказательство на две части.

1) Докажем, что СD не может быть больше DВ. в таком случае

Допустим, что СD > DB, в таком случае 2 > 4 ( из треугольника СDВ). Учитывая, что АD = DВ, получим 1> 3 ( из треугольника ACD). Тогда 1 + 2 > 3 + 4 или 90> 90, что неверно.

2) Доказательство того, что СD не может быть меньше DВ, проводится аналогично.

Итак, возможен один случай: CD = DB.

Перечислим некоторые утверждения и теоремы школьного курса геометрии, которые могут быть доказаны метом от противного.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Если стороны одного треугольника соответственно параллельны сторонам другого треугольника, то соответствующие углы этих треугольников равны. Произвольный треугольник нельзя разрезать на два остроугольных треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме его внутренних углов, с ним не смежных.

Источник